Conjugado binomial: como resolver, exemplos, exercícios - Ciência - 2023

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Conjugado binomial: como resolver, exemplos, exercícios - Ciência
Conjugado binomial: como resolver, exemplos, exercícios - Ciência

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UMA binômio conjugado de outro binômio é aquele em que eles são diferenciados apenas por um sinal da operação. O binômio, como o próprio nome indica, é uma estrutura algébrica que consiste em dois termos.

Alguns exemplos de binômios são:(a + b), (3m - n) Y (5x - y). E seus respectivos binômios conjugados são: (a - b), (-3m - n) e (5x + y). Como pode ser visto imediatamente, a diferença está no sinal.

Um binômio multiplicado por seu conjugado resulta em um produto notável, amplamente utilizado em álgebra e ciências. O resultado da multiplicação é a subtração dos quadrados dos termos do binômio original.

Por exemplo, (x - y) é um binômio e seu conjugado é (x + y). Portanto, o produto dos dois binômios é a diferença dos quadrados dos termos:


(x - y). (x + y) = x2 - Y2

Como você resolve um binômio conjugado?

A regra declarada de binômios conjugados é a seguinte:

O produto de dois binômios conjugados é igual ao quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo. Esse resultado é chamado de diferença de quadrados.

Como exemplo de aplicação, começaremos demonstrando o resultado anterior, o que pode ser feito utilizando-se a propriedade distributiva do produto em relação à soma algébrica.

(x - y) (x + y) = x.x + x.y - y.x - y.y

A multiplicação anterior foi obtida seguindo estas etapas:

- O primeiro termo do primeiro binômio é multiplicado pelo primeiro termo do segundo

- Então o primeiro do primeiro, para o segundo do segundo

- Então o segundo do primeiro pelo primeiro do segundo

- Finalmente o segundo do primeiro pelo segundo do segundo.

Agora vamos fazer uma pequena mudança usando a propriedade comutativa: y.x = x.y. Se parece com isso:


(x - y) (x + y) = x.x + x.y - x.y - y.y

Como existem dois termos iguais, mas com sinal oposto (destacados em cores e sublinhados), eles são cancelados e é simplificado:

(x - y) (x + y) = x.x - y.y

Finalmente, aplica-se que multiplicar um número por si mesmo é equivalente a elevá-lo ao quadrado, então x.x = x2 e também y.y = y2.

Desta forma, demonstra-se o que foi apontado na seção anterior, que o produto de uma soma e sua diferença é a diferença dos quadrados:

(x - y). (x + y) = x2 - Y2

Exemplos

- Binômios conjugados de várias expressões

Exemplo 1

Encontre o conjugado de (e2 - 3y).

Resposta: (Y2 + 3y)


Exemplo 2

Obtenha o produto de (e2 - 3y) por seu conjugado.

Resposta: (Y2 - 3y) (y2 + 3y) = (y2)2 - (3a)2 = e4 – 32 Y2 = e4 - 9a2

Exemplo 3

Revele o produto (1 + 2a). (2a -1).

Resposta: A expressão anterior equivale a (2a + 1). (2a -1), ou seja, corresponde ao produto de um binômio e seu conjugado.

Sabe-se que o produto de um binômio pelo seu binômio conjugado é igual à diferença dos quadrados dos termos do binômio:

(2a + 1) (2a -1) = (2a)2 – 12 = 4 a2 – 1

Exemplo 4

Escreva o produto (x + y + z) (x - y - z) como uma diferença de quadrados.

Resposta: podemos assimilar os trinômios acima à forma de binômios conjugados, fazendo o uso cuidadoso de parênteses e colchetes:

(x + y + z) (x - y - z) = [x + (y + z)] [x - (y + z)]

Desta forma, a diferença de quadrados pode ser aplicada:

(x + y + z) (x - y - z) = [x + (y + z)]. [x - (y + z)] = x2 - (y + z)2

Exemplo 5

Expresse o produto (m2 - m -1). (M2 + m -1) como uma diferença de quadrados.

Resposta: a expressão anterior é o produto de dois trinômios. Deve primeiro ser reescrito como o produto de dois binômios conjugados:

(m2 - m -1) (m2 + m -1) = (m2 - 1 - m) (m2 -1 + m) = [(m2 -1) - m]. [(M2 -1) + m)]

Aplicamos o fato de que o produto de um binômio por seu conjugado é a diferença quadrática de seus termos, como foi explicado:

[(m2 -1) - m]. [(M2 -1) + m)] = (m2 -1)2 - m2

Exercícios

Como sempre, você começa com os exercícios mais simples e depois aumenta o nível de complexidade.

- Exercício 1

Digite (9 - a2) como um produto.

Solução

Primeiramente, reescrevemos a expressão como diferença de quadrados, a fim de aplicar o que foi explicado anteriormente. Portanto:

(9 - a2)=(32 - para2)

Em seguida, fatoramos, o que equivale a escrever essa diferença de quadrados como um produto, conforme solicitado na instrução:

(9 - a2)=(32 - para2) = (3 + a) (3 -a)

- Exercício 2

Fatorar 16x2 - 9a4.

Solução

Fatorar uma expressão significa escrevê-la como um produto. Neste caso, é necessário reescrever previamente a expressão, para obter uma diferença de quadrados.

Não é difícil fazer isso, visto que olhando com atenção, todos os fatores são quadrados perfeitos. Por exemplo 16 é o quadrado de 4, 9 é o quadrado de 3, Y4 é o quadrado de Y2 Yx2 é o quadrado de x:

16x2 - 9a4  =   42x2 – 32Y4 =  42x2  – 32(Y2)2

Em seguida, aplicamos o que já sabemos anteriormente: que uma diferença de quadrados é o produto de binômios conjugados:

(4x)2 - (3 e2)2 = (4x - 3 anos2) (4x + 3 e2)

- Exercício 3

Escreva (a - b) como um produto de binômios

Solução

A diferença acima deve ser escrita como diferenças de quadrados

(√a)2 - (√b)2

Em seguida, é aplicado que a diferença de quadrados é o produto dos binômios conjugados

(√a - √b) (√a + √b)

- Exercício 4

Um dos usos do binômio conjugado é a racionalização de expressões algébricas. Este procedimento consiste em eliminar as raízes do denominador de uma expressão fracionária, o que em muitos casos facilita as operações. Solicita-se o uso do binômio conjugado para racionalizar a seguinte expressão:

√ (2-x) / [√3 - √ (2 + x)]

Solução

A primeira coisa é identificar o binômio conjugado do denominador: [√3 + √ (2 + x)].

Agora, multiplicamos o numerador e o denominador da expressão original pelo binômio conjugado:

√ (2-x) [√3 + √ (2 + x)] / {[√3 - √ (2 + x)]. [√3 + √ (2 + x)]}

No denominador da expressão anterior reconhecemos o produto de uma diferença por uma soma, que já sabemos corresponde à diferença dos quadrados dos binômios:

√ (2-x). [√3 + √ (2 + x)] / {(√3)2 - [√ (2 + x)]2 }

Simplificar o denominador é:

√ (2-x). [√3 + √ (2 + x)] / [3 - (2 + x)] = √ (2-x). [√3 + √ (2 + x)] / (1 - x)

Agora tratamos do numerador, ao qual aplicaremos a propriedade distributiva do produto em relação à soma:

√ (2-x). [√3 + √ (2 + x)] / (1 - x) = √ (6-3x) + √ [(2-x) (2 + x)] / (1 - x )

Na expressão anterior reconhecemos o produto do binômio (2-x) por seu conjugado, que é o produto notável igual à diferença dos quadrados. Desta forma, uma expressão racionalizada e simplificada é finalmente obtida:

[√ (6-3x) + √ (4-x2)] / (1 - x)

- Exercício 5

Desenvolva o seguinte produto, usando as propriedades do binômio conjugado:

[2a(x + 3y) - 3ª(x - 3y)]. [2a(x + 3y) + 3a(x - 3y)]

Solução

4º(2x + 6y) - 9a(2x - 6a) = 4a(2x) .para(6a) - 9a(2x) .para(-6y)= [4a(6a) - 9a(-6y)] .para(2x)

O leitor atento terá notado o fator comum destacado em cores.

Referências

  1. Baldor, A. 1991. Algebra. Editorial Cultural Venezolana S.A.
  2. González J. Exercícios binomiais conjugados. Recuperado de: academia.edu.
  3. Professor de matemática Alex. Produtos notáveis. Recuperado de youtube.com.
  4. Math2me. Binômios conjugados / produtos notáveis. Recuperado de youtube.com.
  5. Produtos binomiais conjugados. Recuperado de: lms.colbachenlinea.mx.
  6. Vitual. Binômios conjugados. Recuperado de: youtube.com.