Teorema da superposição: explicação, aplicações, exercícios resolvidos - Ciência - 2023

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o teorema da superposição, em circuitos elétricos, estabelece que a tensão entre dois pontos, ou a corrente através deles, é a soma algébrica das tensões (ou correntes se for o caso), devidas a cada fonte, como se cada uma agisse em independentemente.

Este teorema nos permite analisar circuitos lineares que contêm mais de uma fonte independente, pois basta calcular a contribuição de cada uma separadamente.

A dependência linear é decisiva para a aplicação do teorema. Um circuito linear é aquele cuja resposta é diretamente proporcional à entrada.

Por exemplo, a lei de Ohm aplicada a uma resistência elétrica afirma que V = i.R, Onde V é a voltagem, R é a resistência e Eu é a corrente. É então uma dependência linear de tensão e corrente em uma resistência.

Em circuitos lineares, o princípio de superposição é aplicado levando em consideração o seguinte:

-Cada fonte de tensão independente deve ser considerada separadamente e para isso é necessário desligar todas as outras. Basta colocar a 0 V todos os que não estão em análise ou substituí-los no esquema por um curto-circuito.

-Se a fonte for atual, o circuito deve ser aberto.

-Ao considerar a resistência interna das fontes de corrente e tensão, elas devem permanecer no lugar, formando parte do resto do circuito.

-Se houver fontes dependentes, elas devem permanecer como aparecem no circuito.

Formulários

O teorema da superposição é usado para obter circuitos mais simples e fáceis de manusear. Mas deve-se sempre ter em mente que isso só se aplica àqueles com respostas lineares, como dito no início.

Portanto, não pode ser usado diretamente para calcular a potência, por exemplo, uma vez que a potência está relacionada à corrente por:

P = i² R

Como a corrente é elevada ao quadrado, a resposta não é linear. Nem é aplicável a circuitos magnéticos nos quais os transformadores estão envolvidos.

Por outro lado, o teorema da superposição oferece a oportunidade de conhecer o efeito que cada fonte tem no circuito. E é claro que através de sua aplicação é possível resolvê-lo por completo, ou seja, conhecer as correntes e tensões através de cada resistência.

O teorema da superposição também pode ser usado em conjunto com outros teoremas de circuito, por exemplo o de Thévenin, para resolver configurações mais complexas.

Em circuitos de corrente alternada, o teorema também é útil. Nesse caso, trabalhamos com impedâncias ao invés de resistências, desde que a resposta total de cada frequência possa ser calculada independentemente.

Finalmente, em sistemas eletrônicos, o teorema é aplicável tanto para análise em corrente contínua quanto em corrente alternada, separadamente.

Passos para aplicar o teorema da superposição

-Desative todas as fontes independentes seguindo as instruções fornecidas no início, exceto aquela a ser analisada.

-Determine a saída, seja tensão ou corrente, produzida por essa única fonte.

-Repita as duas etapas descritas para todas as outras fontes.

-Calcule a soma algébrica de todas as contribuições encontradas nas etapas anteriores.

Exercícios resolvidos

Os exemplos trabalhados abaixo esclarecem o uso do teorema em alguns circuitos simples.

- Exemplo 1

No circuito mostrado na figura a seguir, encontre a corrente através de cada resistor usando o teorema da superposição.

Solução

Contribuição da fonte de tensão

Para começar, a fonte de corrente é eliminada, com a qual o circuito é o seguinte:

A resistência equivalente é encontrada somando o valor de cada resistência, uma vez que estão todas em série:

7500 +600 +400 + 1500 Ω = 10.000 Ω

Aplicando a Lei de Ohm V = I.R e limpar a corrente:

I = V / R = 7 / 10.000 A = 0,0007 A = 0,7 mA

Esta corrente é a mesma para todos os resistores.

Contribuição da fonte atual

A fonte de tensão é eliminada imediatamente, para funcionar apenas com a fonte de corrente. O circuito resultante é mostrado abaixo:

Os resistores na malha certa estão em série e podem ser substituídos por um único:

600 +400 + 1500 Ω =2500 Ω

O circuito resultante é semelhante a este:

A corrente de 2 mA = 0,002 A é dividida entre os dois resistores na figura, portanto, a equação do divisor de corrente é válida:

Eu_x = (R_eq/ R_x) EU_T

Onde Eu_x é a corrente no resistor R_x, R_eq simboliza a resistência equivalente e Eu_T é a corrente total. É necessário encontrar a resistência equivalente entre ambos, sabendo que:

1 / R_eq= (1 / R₁) + (1 / R₂)

Portanto:

1 / R_eq = (1/7500) + (1/2500) = 1/1875 → R_eq = 1875 Ω

Para este outro circuito, a corrente que passa pelo resistor de 7500 Ω é encontrada substituindo os valores na equação do divisor de corrente:

Eu_{7500 Ω} = (1875/7500). 0,002 A = 0,0005 A = 0,5 mA

Enquanto o que passa pelo resistor de 2500 Ω é:

Eu_{2500 Ω} = 2 mA - 0,5 mA = 1,5 mA

Aplicação do teorema da superposição

Agora o teorema da superposição é aplicado para cada resistência, começando com 400 Ω:

Eu_{400 Ω} = 1,5 mA - 0,7 mA = 0,8 mA

Importante: por esta resistência, as correntes são subtraídas, pois circulam na direção oposta, como se pode perceber pela observação cuidadosa das figuras, nas quais as direções das correntes têm cores diferentes.

Essa mesma corrente flui igualmente pelos resistores de 1500 Ω e 600 Ω, já que estão todos em série.

O teorema é então aplicado para encontrar a corrente através do resistor de 7500 Ω:

Eu_{7500 Ω} = 0,7 mA + 0,5 mA = 1,2 mA

Importante: no caso do resistor de 7500 Ω, observe que as correntes somam, pois em ambos os circuitos circulam na mesma direção ao passar por esta resistência. Novamente é necessário observar cuidadosamente as direções das correntes.

- Exercício 2

Encontre a corrente e a tensão no resistor de 12 Ω usando o teorema da superposição.

Solução

A fonte E foi substituída₁ com um curto-circuito:

O circuito resultante é desenhado da seguinte maneira, para visualizar facilmente as resistências que permanecem em paralelo:

E agora é resolvido aplicando séries e paralelas:

1 / R_eq = (1/12) + (1/4) = 1/3 → R_eq = 3 Ω

Esta resistência, por sua vez, está em série com a de 2 Ω, portanto, a resistência total é 5 Ω. A corrente total é:

I = V / R = 10 V / 5 Ω = 2 A

Este fluxo é dividido em:

Eu_12Ω = (3/12) 2 A = 0,5 A

Portanto, a tensão é:

V_12Ω = 0,5 A × 12 Ω = 6 V

Agora a fonte E está ativada₁:

O circuito resultante pode ser desenhado assim:

1 / R_eq = (1/12) + (1/2) = 7/12 → R_eq = 12/7 Ω

E em série com o de 4 Ω uma resistência equivalente resulta 40/7 Ω. Neste caso, a corrente total é:

I = V / R = 16 V / (40/7) Ω = 14/5 A

O divisor de tensão é aplicado novamente com estes valores:

Eu₁₂_Ω = ((12/7) / 12) (14/5) A = 0,4 A

A corrente resultante é: 0,5 - 0,4 A = 0,1 A. Note que eles foram subtraídos, pois a corrente de cada fonte tem um sentido diferente, como pode ser visto no circuito original.

A voltagem no resistor é:

V_12Ω = 0,4 A × 12 Ω = 4,8 V

Finalmente, a tensão total é: 6V-4,8V = 1,2V

Referências

Alexander, C. 2006. Fundamentals of Electrical Circuits. 3º Edição. Mc Graw Hill.
Boylestad, R. 2011. Introdução à Análise de Circuito. 2ª Edição. Pearson.
Dorf, R. 2006. Introdução aos circuitos elétricos. 7º. Edição. John Wiley & Sons.
Edminister, J. 1996. Electrical Circuits. Schaum series. 3º Edição. Mc Graw Hill
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