Decomposição de números naturais (exemplos e exercícios) - Ciência - 2023

Contente

o decomposição de números naturais Eles podem ser dados de diferentes maneiras: como um produto de fatores primos, como uma soma de potências de dois e decomposição aditiva. Eles serão explicados em detalhes abaixo.

Uma propriedade útil das potências de dois é que eles podem converter um número do sistema decimal em um número do sistema binário. Por exemplo, 7 (número no sistema decimal) é equivalente ao número 111, já que 7 = (2 ^ 2) + (2 ^ 1) + (2 ^ 0).

Os números naturais são os números com os quais os objetos podem ser contados e enumerados. Na maioria dos casos, considera-se que os números naturais começam em 1. Esses números são ensinados na escola e são úteis em quase todas as atividades da vida diária.

Maneiras de decompor os números naturais

Conforme mencionado antes, aqui estão três maneiras diferentes de decompor os números naturais.

Decomposição como um produto de fatores primários

Cada número natural pode ser expresso como um produto de números primos. Se o número já é primo, sua decomposição é multiplicada por um.

Caso contrário, é dividido pelo menor número primo pelo qual é divisível (pode ser uma ou mais vezes), até a obtenção de um número primo.

Por exemplo:

5 = 5*1.

15 = 3*5.

28 = 2*2*7.

624 = 2*312 = 2*2*156 = 2*2*2*78 = 2*2*2*2*39 = 2*2*2*2*3*13.

175 = 5*35 = 5*5*7.

Decomposição como uma soma de poderes de 2

Outra propriedade interessante é que qualquer número natural pode ser expresso como uma soma de potências de 2. Por exemplo:

1 = 2^0.

2 = 2^1.

3 = 2^1 + 2^0.

4 = 2^2.

5 = 2^2 + 2^0.

6 = 2^2 + 2^1.

7 = 2^2 + 2^1 + 2^0.

8 = 2^3.

15 = 2^3 + 2^2 + 2^1 + 2^0.

Decomposição aditiva

Outra maneira de decompor os números naturais é considerar seu sistema de numeração decimal e o valor da casa de cada dígito.

Isso é obtido considerando os números da direita para a esquerda e começando com unidade, dez, cem, mil unidade, dez mil, cem mil, milhão unidade, etc. Esta unidade é multiplicada pelo sistema de numeração correspondente.

Por exemplo:

239 = 2*100 + 3*10 + 9*1 = 200 + 30 + 9.

4893 = 4*1000 + 8*100 + 9*10 + 3*1.

Exercícios e soluções

Considere o número 865236. Encontre sua decomposição em um produto de números primos, soma de potências de 2 e sua decomposição aditiva.

Decomposição em um produto de números primos

-Como 865236 é par, você pode ter certeza de que o menor primo pelo qual é divisível é 2.

-Dividindo por 2 você obtém: 865236 = 2 * 432618. Novamente, você obtém um número par.

- Continua dividindo até que um número ímpar seja obtido. Então: 865236 = 2 * 432618 = 2 * 2 * 216309.

-O último número é ímpar, mas é divisível por 3, pois a soma dos seus dígitos é.

-Assim, 865236 = 2 * 432618 = 2 * 2 * 216309 = 2 * 2 * 3 * 72103. O número 72103 é primo.

-Portanto, a decomposição desejada é a última.

Decomposição na soma dos poderes de 2

-O maior poder de 2 que está mais próximo de 865236 é procurado.

-Isso é 2 ^ 19 = 524288. Agora repita o mesmo para a diferença 865236 - 524288 = 340948.

-A potência mais próxima neste caso é 2 ^ 18 = 262144. Agora continuamos com 340948-262144 = 78804.

-Neste caso, a potência mais próxima é 2 ^ 16 = 65536. Continue 78804 - 65536 = 13268 e obtemos que a potência mais próxima é 2 ^ 13 = 8192.

-Agora com 13268 - 8192 = 5076 e você obtém 2 ^ 12 = 4096.

- Então, com 5076 - 4096 = 980 e temos 2 ^ 9 = 512. Continuamos com 980 - 512 = 468, e a potência mais próxima é 2 ^ 8 = 256.

-Agora vem 468 - 256 = 212 com 2 ^ 7 = 128.

-Então 212 - 128 = 84 com 2 ^ 6 = 64.

-Agora 84-64 = 20 com 2 ^ 4 = 16.

-E finalmente 20 - 16 = 4 com 2 ^ 2 = 4.

Finalmente você tem que:

865236 = 2^19 + 2^18 + 2^16 + 2^13 + 2^12 + 2^9 + 2^8 + 2^7 + 2^6 + 2^4 + 2^2.

Decomposição aditiva

Identificando as unidades, temos que a unidade corresponde ao número 6, o dez ao 3, o cem ao 2, a unidade do mil ao 5, o dez do mil ao 6 e o cem do mil ao 8.

Então,

865236 = 8*100.000 + 6*10.000 + 5*1.000 + 2*100 + 3*10 + 6

= 800.000 + 60.000 + 5.000 + 200 + 30 + 6.

Referências

Barker, L. (2011). Textos nivelados para matemática: número e operações. Materiais criados pelo professor.
Burton, M., French, C., & Jones, T. (2011). Usamos Números. Empresa de educação de referência.
Doudna, K. (2010). Ninguém dorme quando usamos números! Editora ABDO.
Fernández, J. M. (1996). Projeto de abordagem de ligação química. Reverte.
Hernández, J. d. (s.f.). Caderno de matemática. Limite.
Lahora, M.C. (1992). Atividades matemáticas com crianças de 0 a 6 anos. Edições Narcea.
Marín, E. (1991). Gramática espanhola. Editorial Progreso.
Tocci, R. J., & Widmer, N. S. (2003). Sistemas digitais: princípios e aplicações. Pearson Education.