Integral indefinido: propriedades, aplicações, cálculo (exemplos) - Ciência - 2023

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o integral indefinida é a operação inversa da derivação e para denotá-la usa-se o símbolo do "s" alongado: ∫. Matematicamente, a integral indefinida da função F (x) é escrita:

∫F (x) dx = f (x) + C

Onde o integrando F (x) = f´ (x) é uma função da variável x, que por sua vez é a derivada de outra função f (x), chamada de integral ou antiderivada.

Por sua vez, C é uma constante conhecida como constante de integração, que sempre acompanha o resultado de cada integral indefinida. Veremos sua origem imediatamente por meio de um exemplo.

Suponha que sejamos solicitados a encontrar a seguinte integral indefinida I:

I = ∫x.dx

Imediatamente f´ (x) é identificado com x. Isso significa que devemos fornecer uma função f (x) tal que sua derivada seja x, algo que não é difícil:

f (x) = ½ x²

Sabemos que derivando f (x) obtemos f´ (x), verificamos:

[½ x²] ´ = 2. (½ x) = x

Agora a função: f (x) = ½ x² + 2 também satisfaz o requisito, uma vez que a derivação é linear e a derivada de uma constante é 0. Outras funções que quando derivadas resultam em f (x) = são:

½ x² -1, ½ x² + 15; ½ x² – √2…

E em geral todas as funções do formulário:

f (x) = ½ x² + C

São as respostas corretas para o problema.

Qualquer uma dessas funções é chamada antiderivada ou primitiva de f´ (x) = x e é precisamente a esse conjunto de todas as antiderivadas de uma função o que se conhece como integral indefinida.

Basta conhecer apenas uma das primitivas, pois, como se pode ver, a única diferença entre elas é a constante C de integração.

Se o problema contém condições iniciais, é possível calcular o valor de C para ajustá-las (veja o exemplo resolvido abaixo).

Como calcular uma integral indefinida

No exemplo anterior, ∫x.dx foi calculado porque uma função f (x) era conhecida que, quando derivada, resultou no integrando.

Por esta razão, a partir das funções mais conhecidas e suas derivadas, integrais básicos podem ser resolvidos rapidamente.

Além disso, existem algumas propriedades importantes que expandem a gama de possibilidades ao resolver uma integral. Estar k um número real, então é verdade que:

1.- ∫kdx = k ∫dx = kx + C

2.- ∫kf (x) dx = k ∫f (x) dx

3.- ∫h (x) dx = ∫ [f (x) ± g (x)] dx = ∫f (x) dx ± ∫g (x) dx

4.- ∫xⁿ dx = [x^{n + 1}/ n + 1] + C (n ≠ -1)

5.- ∫x ^-1 dx = ln x + C

Dependendo do integrando, existem vários métodos algébricos e também numéricos para resolver integrais. Aqui mencionamos:

- Mudança de variável

-Substituições algébricas e trigonométricas.

-Integração por partes

-Decomposição em frações simples para integração de tipo racional

-Uso de tabelas

-Métodos numéricos.

Existem integrais que podem ser resolvidos por mais de um método. Infelizmente, não existe um único critério para determinar a priori o método mais eficaz para resolver uma dada integral.

Na verdade, alguns métodos permitem que você alcance a solução de certas integrais mais rapidamente do que outros. Mas a verdade é que para adquirir integrais de resolução de habilidades, você precisa praticar cada método.

- Exemplo resolvido

Resolver:

Vamos fazer uma mudança de variável simples para a quantidade sub-radical:

u = x-3

Com:

x = u + 3

Derivar ambos os lados em qualquer uma das duas expressões dá:

dx = du

Agora substituímos na integral, que denotaremos como I:

I = ∫x √ (x-3) dx = ∫ (u + 3) (√u) du = ∫ (u + 3) u^1/2 du

Aplicamos propriedade distributiva e multiplicação de potências de base igual e obtemos:

I = ∫ (u^3/2 + 3 u^1/2) du

Pela propriedade 3 da seção anterior:

I = ∫ u^3/2 du + ∫ 3u^1/2 du

Agora a propriedade 4 é aplicada, que é conhecida como regra de poderes:

Primeira integral

∫ você^3/2 du = [u ^{3/2 + 1} / (3/2 + 1)] + C₁ =

= [u^5/2 / (5/2)] + C₁ = (2/5) u^5/2 + C₁

Segunda integral

∫ 3u^1/2 du = 3 ∫u^1/2 du = 3 [u^3/2 / (3/2)] + C₂ =

= 3 (2/3) u^3/2 + C₂= 2u^3/2 + C₂

Em seguida, os resultados são reunidos em I:

I = (2/5) u^5/2 + 2u^3/2 + C

As duas constantes podem ser combinadas em uma sem problemas. Por fim, não se esqueça de retornar a mudança de variável que foi feita antes e expressar o resultado em termos da variável original x:

I = (2/5) (x-3)^5/2 + 2 (x-3)^3/2 + C

É possível fatorar o resultado:

I = 2 (x-3)^3/2[(1/5) (x-3) +1] + C = (2/5) (x-3)^3/2 (x + 2) + C

Formulários

A integral indefinida se aplica a vários modelos em ciências naturais e sociais, por exemplo:

Movimento

Na solução de problemas de movimento, calcular a velocidade de um móvel, conhecendo sua aceleração e no cálculo da posição de um móvel, conhecendo sua velocidade.

Economia

Calculando os custos de produção de itens e modelando uma função de demanda, por exemplo.

Exercício de aplicação

A velocidade mínima exigida por um objeto para escapar da atração gravitacional da Terra é dada por:

Nesta expressão:

-v é a velocidade do objeto que deseja escapar da Terra

-y é a distância medida do centro do planeta

-M é a massa de terra

-G é constante de gravitação

Ele pede para encontrar a relação entre v Y Y, resolvendo as integrais indefinidas, se o objeto receber uma velocidade inicial v_ou e o raio da Terra é conhecido e é denominado R.

Solução

Somos apresentados a duas integrais indefinidas para resolver usando as regras de integração:

Eu₁ = ∫v dv = v²/ 2 + C₁

Eu₂ = -GM ∫ (1 / y²) dy = -GM ∫ y^-2 dy = -GM [y^-2+1/ (- 2 + 1)] + C₂ = GM. Y^-1 + C₂

Nós igualamos eu₁ e eu₂:

v²/ 2 + C₁ = GM. Y^-1 + C₂

As duas constantes podem ser combinadas em uma:

Uma vez resolvidas as integrais, aplicamos as condições iniciais, que são as seguintes: quando o objeto está na superfície da Terra, ele está a uma distância R do centro dela. Na declaração, eles nos dizem que y é a distância medida do centro da Terra.

E apenas por estar na superfície é que lhe é dada a velocidade inicial vo com a qual escapará da atração gravitacional do planeta. Portanto, podemos estabelecer que v (R) = v_ou. Nesse caso, nada nos impede de substituir essa condição no resultado que acabamos de obter:

E desde v_ou é conhecido, e também G, M e R, podemos resolver para o valor da constante de integração C:

Que podemos substituir no resultado das integrais:

E finalmente nós limpamos v², fatoração e agrupamento apropriadamente:

Esta é a expressão que relaciona a velocidade v de um satélite que foi disparado da superfície do planeta (de raio R) com velocidade inicial vo, quando está à distância Y do centro do planeta.

Referências

Haeussler, E. 1992. Mathematics for Management and Economics. Grupo Editorial Iberoamérica.
Hiperfísica. Velocidade de escape. Recuperado de: hthyperphysics.phy-astr.gsu.edu.
Larson, R. 2010. Cálculo de uma variável. 9º. Edição. McGraw Hill.
Purcell, E. 2007. Calculus with Analytical Geometry. 9º. Edição. Pearson Education.
Wolfram MathWorld. Exemplos de integrais. Recuperado de: mathworld.wolfram.com.