Série Fibonacci: propriedades, relações naturais, aplicações - Ciência - 2023

Contente

• História
• O problema do coelho Fibonacci
• Propriedades da série Fibonacci
• Propriedade 1
• Propriedade 2
• Propriedade 3
• Propriedade 4
• Propriedade 5
• 
• A sequência de Fibonacci em plantas
• A sequência de Fibonacci em animais
• Formulários
• Referências

o série o A sequência de Fibonacci é uma sequência de números que se obtém a partir de 0 e 1, continua com a soma deles: 0 + 1 = 1, depois a soma dos dois anteriores: 1 + 1 = 2 e assim por diante.

Seguindo este procedimento os outros termos são obtidos, vejamos: 2 + 1 = 3, 3 + 2 = 5, 5 + 3 = 8, 8 +5 = 13 ...

O procedimento é repetido quantas vezes você quiser. Desta forma, a sequência de Fibonacci assume a forma:0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55… Os números que o compõem são chamados números de fibonacci.

História

A sequência de Fibonacci recebe o nome de um matemático italiano que viveu na Idade Média: Leonardo de Pisa, também conhecido como Fibonacci (1175-1250).

Leonardo passou a infância no norte da África e viajou pelo Mediterrâneo, onde aprendeu sobre o sistema de numeração indo-arábica e ficou encantado com ele. Os professores árabes de Leonardo provavelmente lhe ensinaram sobre a sucessão, que já era conhecida dos matemáticos hindus.

Mais tarde, ao retornar a Pisa, Fibonacci escreveu um livro chamado Liber Abaci (o Livro do Abacus), onde além de destacar as vantagens dos numerais indo-arábicos sobre os romanos e introduzir o 0, ele levantou um problema sobre a reprodução dos coelhos.

E a solução para esse problema são justamente os números da seqüência de Fibonacci.

Leonardo de Pisa não reivindicou a criação da sucessão; Ele apenas mencionou isso em seu livro como uma curiosidade, o que atraiu a atenção de muitos estudiosos que o seguiram. Entre eles estava o matemático francês do século 19, Edouard Lucas, que, ao estudar a sucessão, deu-lhe o nome do sábio medieval que a tornou conhecida no Ocidente.

O problema do coelho Fibonacci

O problema é assim: você tem um casal de coelhos que vivem para sempre, que ficam férteis depois de dois meses. Uma vez atingida a maturidade, eles têm um par de coelhos bebês de sexos diferentes a cada mês, que também levam dois meses para se reproduzir e passam a ter um par mensal de coelhos.

Começando com um par de coelhos recém-nascidos, quantos pares de coelhos haverá em um mês? Quantos pares de coelhos haverá após 2, 3 e 4 meses? E quantos haverá após 6 meses?

A resposta está nos números de Fibonacci. Após 1 mês há 1 par de coelhos, o par original, visto que só se reproduzem após 2 meses.

Após 2 meses, há 2 pares de coelhos: o par original e a primeira ninhada.

Aos 3 meses, teremos 3 casais, incluindo o par original, sua primeira ninhada e uma nova.

Quando chegarmos ao 4º mês, teremos o casal original, a primeira ninhada que por sua vez tem os primeiros filhos, a ninhada do terceiro mês e uma nova ninhada. No total 5 pares de coelhos.

Mas esses são os números da sequência de Fibonacci, pois após 6 meses haverá 13 pares de coelhos, já que a cada mês são somados os pares dos dois meses anteriores.

Propriedades da série Fibonacci

Aqui estão algumas propriedades interessantes da sequência de Fibonacci.

Propriedade 1

A fórmula recursiva para encontrar os termos da sequência é:

para_{n + 1} = a_n + a_n-1 para n maior ou igual a 2.

Onde n = 2, 3, 4, ... Ou seja, para encontrar o sétimo termo a₇, fazemos n = 6, de modo que 6 + 1 = 7. Precisamos saber os termos para₅ já₆, da lista na introdução de₅ = 5 e um₆ = 8, portanto um₇ = 5+8 = 13.

Propriedade 2

Se os dois termos anteriores ao que queremos encontrar não forem conhecidos, podemos usar a seguinte fórmula:

Propriedade 3

Os números para_n já_{n + 1} estão coprimos, isto é, eles são primos entre si, o que significa que eles não têm fatores primos em comum.

Propriedade 4

Uma propriedade muito interessante é a do quociente entre os termos a_2n já_n, que vale 1, quando n = 1. Quer dizer:

para₂ / para₁ = 1

Podemos verificar facilmente com a lista de números de Fibonacci.

Por outro lado, se n ≠ 1, então o quociente é:

para_2n / para_n = a_n + 2a_n-1

Por exemplo, se n = 3, então um _2n = a₆ = 8 e um₃ = 2. Bem, então:

8/2 = 2 + 2. a₂ = 2 + 2. 1

De fato: 8/2 = 4 e 2 + (2,1) = 4. Pode-se verificar que qualquer valor de n é satisfeito.

Propriedade 5

O quociente r_n = a_{n + 1} / para_n, quando n fica grande, ele converge para o razão de ouro ou proporção áurea, um número irracional que ocorre frequentemente na natureza, dado por:

A sequência de Fibonacci em plantas

Os galhos de certas árvores surgem a cada ano de acordo com a seqüência de Fibonacci. No primeiro ano o tronco cresce sem formar galho, depois de um ano produz um e assim sucessivamente todos os anos. Por sua vez, cada ramo pode assumir um novo após um ano, da mesma forma que os coelhos se reproduzem.

O centro das flores do girassol contém as sementes dispostas em feixes de espirais logarítmicas, em uma direção e na outra, cujas quantidades correspondem a dois números de Fibonacci consecutivos.

Os números de Fibonacci estão presentes no número de pétalas de flores de girassol e margaridas, bem como em numerosos padrões em que as plantas organizam suas folhas.

Os especialistas garantem que desta forma as plantas otimizam o espaço para que as folhas e flores tenham um crescimento ideal.

Partindo de um ponto central, essas estruturas crescem e recebem luz solar, portanto, as novas folhas e pétalas devem cobrir o menos possível as que surgiram primeiro. E a melhor maneira de conseguir isso é adotando um padrão de crescimento em termos da sequência de Fibonacci.

A sequência de Fibonacci em animais

A espiral de Dürer na imagem acima faz parte do padrão de crescimento das conchas dos animais marinhos e dos chifres de alguns ruminantes.

Comece com dois quadrados do lado 1, um sobre o outro, depois um quadrado do lado 2 lado a lado, formando um retângulo com o lado 3, cujos lados têm a proporção áurea.

Abaixo está um quadrado com o lado 3 e à esquerda um quadrado com o lado 5. Acima há um quadrado com o lado 8 e à direita um quadrado com o lado 13. Estes são os primeiros números da sequência.

Por fim, a espiral é traçada tocando nos cantos dos quadrados, conforme mostrado na figura.

Formulários

A sequência de Fibonacci é aplicada em vários campos:

-Na arte, a proporção áurea relacionada à sequência de Fibonacci aparece em pessoas e coisas representadas por grandes artistas como Leonardo da Vinci, Michelangelo e Albrecht Dürer.

-As proporções do Partenon em Atenas também respondem ao número dourado.

-Nas composições de Mozart, Beethoven, Schubert e Debussy.

-Para projetar objetos cujas proporções sejam harmoniosas aos olhos humanos, como cartões de crédito, embalagens, bandeiras.

-No mercado de ações é usado para prever que os preços reverterão sua tendência.

Referências

1. Sequência de Fibonacci. Recuperado de: blogeducastur.es.
2. Stewart, J. 2007. Precalculus. 5 ª. Edição. Cengage Learning.
3. Vargas, M. Applications of the Fibonacci sequence. Recuperado de: matesup.cl.
4. Wikipedia. Número de Fibonacci. Recuperado de: en.wikipedia.org.