Lógica matemática: origem, o que estuda, tipos - Ciência - 2023

Contente

o Lógica matemática ou a lógica simbólica é uma linguagem matemática que inclui as ferramentas necessárias por meio das quais um raciocínio matemático pode ser afirmado ou negado.

É bem sabido que não há ambigüidades em matemática. Dado um argumento matemático, ele é válido ou simplesmente não é. Não pode ser falso e verdadeiro ao mesmo tempo.

Um aspecto particular da matemática é que ela tem uma linguagem formal e rigorosa pela qual a validade de um argumento pode ser determinada. O que torna um certo raciocínio ou qualquer prova matemática irrefutável? É disso que trata a lógica matemática.

Assim, a lógica é a disciplina da matemática responsável por estudar o raciocínio matemático e as provas e fornecer as ferramentas para poder inferir uma conclusão correta a partir de afirmações ou proposições anteriores.

Para isso, são utilizados axiomas e outros aspectos matemáticos que serão desenvolvidos posteriormente.

Origem e história

As datas exatas com respeito a muitos aspectos da lógica matemática são incertas. No entanto, a maioria das bibliografias sobre o assunto remonta à Grécia antiga.

Aristóteles

O início do tratamento rigoroso da lógica é atribuído, em parte, a Aristóteles, que escreveu um conjunto de obras de lógica, que foram posteriormente coletadas e desenvolvidas por diferentes filósofos e cientistas, até a Idade Média. Isso poderia ser considerado "a velha lógica".

Mais tarde, no que é conhecido como Idade Contemporânea, Leibniz, movido por um desejo profundo de estabelecer uma linguagem universal para raciocinar matematicamente, e outros matemáticos como Gottlob Frege e Giuseppe Peano, notadamente influíram no desenvolvimento da lógica matemática com grandes contribuições , entre eles, os Axiomas de Peano, que formulam propriedades indispensáveis dos números naturais.

Os matemáticos George Boole e Georg Cantor também tiveram grande influência nessa época, com contribuições importantes na teoria dos conjuntos e tabelas de verdade, nas quais destacam, entre outros aspectos, a Álgebra Booleana (de George Boole) e o Axioma da Escolha (por George Cantor).

Há também Augustus De Morgan com as conhecidas Leis de Morgan, que contemplam negações, conjunções, disjunções e condicionais entre proposições, chaves para o desenvolvimento da Lógica Simbólica, e Jhon Venn com os famosos diagramas de Venn.

No século 20, aproximadamente entre 1910 e 1913, Bertrand Russell e Alfred North Whitehead se destacam com a publicação de Principia mathematica, um conjunto de livros que compila, desenvolve e postula uma série de axiomas e resultados da lógica.

O que a lógica matemática estuda?

Proposições

A lógica matemática começa com o estudo de proposições. Uma proposição é uma afirmação que pode ser dita sem qualquer ambigüidade se é verdadeira ou não. A seguir estão exemplos de proposições:

2+4=6.
5²=35.
Em 1930, ocorreu um terremoto na Europa.

A primeira é uma afirmação verdadeira e a segunda é uma afirmação falsa. A terceira, mesmo que a pessoa que esteja lendo não saiba se é verdadeira ou imediatamente, é uma afirmação que pode ser testada e determinada se realmente aconteceu ou não.

A seguir estão exemplos de expressões que não são proposições:

Ela é loira.
2x = 6.
Vamos jogar!
Você gosta de filmes?

Na primeira proposição, não é especificado quem "ela" é, portanto, nada pode ser declarado. Na segunda proposição, não é especificado o que "x" representa. Se, em vez disso, fosse dito que 2x = 6 para algum número natural x, neste caso corresponderia a uma proposição, de fato verdadeira, já que para x = 3 ela se cumpre.

Os dois últimos enunciados não correspondem a uma proposição, pois não há como negá-los ou afirmá-los.

Duas ou mais proposições podem ser combinadas (ou conectadas) usando conectivos lógicos (ou conectores) bem conhecidos. Estes são:

Negação: "Não está chovendo."
Disjunção: “Luisa comprou uma bolsa branca ou cinza”.
Conjunção: “4²= 16 e 2 × 5 = 10 ".
Condicional: "Se chover, não vou à academia esta tarde."
Bicondicional: "Vou à academia esta tarde se, e somente se, não chover."

Uma proposição que não possui nenhum dos conectivos anteriores é chamada de proposição simples (ou atômica). Por exemplo, "2 é menor que 4" é uma proposição simples. As proposições que possuem algum conectivo são chamadas de proposições compostas, como "1 + 3 = 4 e 4 é um número par".

As declarações feitas por meio de proposições são geralmente longas, por isso é tedioso sempre escrevê-las como vimos até agora. Por isso, uma linguagem simbólica é usada. As proposições são geralmente representadas por letras maiúsculas, como P, Q, R, Setc. E os conectivos simbólicos da seguinte forma:

De modo que

o recíproca de uma proposição condicional

é a proposição

E a contra-recíproco (ou contrapositivo) de uma proposição

é a proposição

Tabelas da verdade

Outro conceito importante em lógica é o de tabelas de verdade. Os valores de verdade de uma proposição são as duas possibilidades de uma proposição: verdadeiro (que será denotado por V e será dito que seu valor de verdade é V) ou falso (que será denotado por F e será dito que seu valor realmente é F).

O valor de verdade de uma proposição composta depende exclusivamente dos valores de verdade das proposições simples que aparecem nela.

Para trabalhar de forma mais geral, não consideraremos proposições específicas, mas variáveis proposicionais p, q, r, s, etc., que representará quaisquer proposições.

Com essas variáveis e os conectivos lógicos, as fórmulas proposicionais bem conhecidas são formadas, bem como as proposições compostas.

Se cada uma das variáveis que aparecem em uma fórmula proposicional for substituída por uma proposição, uma proposição composta será obtida.

Abaixo estão as tabelas de verdade para conectivos lógicos:

Existem fórmulas proposicionais que recebem apenas o valor V em sua tabela verdade, ou seja, a última coluna de sua tabela verdade possui apenas o valor V. Esses tipos de fórmulas são conhecidos como tautologias. Por exemplo:

A seguir está a tabela verdade da fórmula

Diz-se que uma fórmula α implica logicamente outra fórmula β, se α for verdadeiro toda vez que β for verdadeiro. Ou seja, na tabela verdade de α e β, as linhas em que α tem um V, β também tem um V. Ele está interessado apenas nas linhas em que α tem o valor V. A notação para a implicação lógica é a seguinte :

A tabela a seguir resume as propriedades de implicação lógica:

Duas fórmulas proposicionais são consideradas logicamente equivalentes se suas tabelas de verdade forem idênticas. A seguinte notação é usada para expressar equivalência lógica:

As tabelas a seguir resumem as propriedades de equivalência lógica:

Tipos de lógica matemática

Existem diferentes tipos de lógica, especialmente se levarmos em consideração a lógica pragmática ou informal que aponta para a filosofia, entre outras áreas.

No que diz respeito à matemática, os tipos de lógica podem ser resumidos como:

Lógica formal ou aristotélica (lógica antiga).
Lógica proposicional: é responsável pelo estudo de tudo relacionado à validade de argumentos e proposições usando uma linguagem formal e também simbólica.
Lógica simbólica: voltada para o estudo dos conjuntos e suas propriedades, também com uma linguagem formal e simbólica, e está profundamente ligada à lógica proposicional.
Lógica combinatória: uma das mais desenvolvidas, envolve resultados que podem ser desenvolvidos por meio de algoritmos.
Programação lógica: usada nos vários pacotes e linguagens de programação.

Áreas

Entre as áreas que fazem uso da lógica matemática de forma indispensável no desenvolvimento de seus raciocínios e argumentos, destacam-se a filosofia, a teoria dos conjuntos, a teoria dos números, a matemática algébrica construtiva e as linguagens de programação.

Referências

Aylwin, C. U. (2011). Lógica, conjuntos e números. Mérida - Venezuela: Conselho de Publicações, Universidad de Los Andes.
Barrantes, H., Díaz, P., Murillo, M., & Soto, A. (1998). Introdução à Teoria dos Números. EUNED.
Castañeda, S. (2016). Curso básico de teoria dos números. Northern University.
Cofré, A., & Tapia, L. (1995). Como desenvolver o raciocínio lógico matemático. Editorial da Universidade.
Zaragoza, A. C. (s.f.). Teoria dos Números Editorial Vision Libros.