Média ponderada: como é calculado, exemplos e exercícios - Ciência - 2023

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o média ponderada ou média aritmética ponderada, é uma medida de tendência central em que, a cada valor x_Eu que pode assumir uma variável X, é atribuído um peso p_Eu. Como resultado, denotando a média ponderada x_p, se tem:

Com a notação de soma, a fórmula para a média ponderada é:

Onde N representa o número de valores que são escolhidos da variável X.

O p_Eu, que também é chamado fator de ponderação,é uma medida da importância que o pesquisador atribui a cada valor. Esse fator é arbitrário e sempre positivo.

Neste, a média ponderada difere da média aritmética simples, porque neste, cada um dos valores de x_n tem igual significado. Porém, em muitas aplicações, o pesquisador pode considerar que alguns valores são mais importantes que outros e atribuirá um peso a eles de acordo com seus critérios.

Aqui está o exemplo mais conhecido: suponha que um aluno faça N avaliações em uma disciplina e todas tenham o mesmo peso na nota final. Nesse caso, para calcular a nota final bastará tirar uma média simples, ou seja, somar todas as notas e dividir o resultado por N.

Mas se cada atividade tem um peso diferente, porque alguns avaliam conteúdos mais importantes ou mais complexos, então será necessário multiplicar cada avaliação pelo seu respectivo peso, e depois somar os resultados para obter a nota final. Veremos como realizar este procedimento na seção de exercícios resolvidos.

Exemplos

O exemplo das classificações descritas acima é um dos mais típicos em termos de aplicação da média ponderada. Outra aplicação muito importante em economia é o índice de Preços ao Consumidor ou índice de preços ao consumidor IPC, também chamado cesta de familia e isso serve como um avaliador da inflação em uma economia.

Na sua preparação, são tidos em consideração uma série de itens como alimentos e bebidas não alcoólicas, vestuário e calçado, medicamentos, transportes, comunicações, educação, lazer e outros bens e serviços.

Os especialistas atribuem um fator de ponderação a cada item, de acordo com sua importância na vida das pessoas. Os preços são recolhidos durante um determinado período de tempo e com todas as informações calcula-se o IPC do referido período, que pode ser mensal, bimestral, semestral ou anual, por exemplo.

O centro de massa de um sistema de partículas

Na física, a média ponderada tem uma aplicação importante, que é calcular o centro de massa de um sistema de partículas. Este conceito é muito útil quando se trabalha com um corpo alongado, no qual sua geometria deve ser levada em consideração.

O centro de massa é definido como o ponto em que toda a massa de um objeto estendido é concentrada. Nesse ponto, forças como o peso, por exemplo, podem ser aplicadas e, assim, seus movimentos de translação e rotação podem ser explicados, usando as mesmas técnicas utilizadas quando todos os objetos eram considerados partículas.

Para simplificar, começamos assumindo que o corpo estendido é composto de uma quantidade N de partículas, cada uma com massa m e sua própria localização no espaço: o ponto coordenado (x_Eu, Y_Eu, z_Eu).

Estar x_CM a coordenada x do centro de massa CM, então:

M representa a massa total do sistema. Proceda da mesma forma para encontrar as coordenadas e_CM e Z_CM:

O fator de ponderação, neste caso, é a massa de cada uma das partículas que constituem o objeto estendido.

Características importantes do centro de massa

Quando o número de partículas é muito grande, é um objeto contínuo. Nesse caso, N → ∞ e a soma é substituída por uma integral definida, cujos limites são dados pelo tamanho do objeto.

É importante ressaltar que não há necessariamente massa no local do centro de massa. Por exemplo, em um donut ou donut, o centro de massa coincide aproximadamente com o centro geométrico do donut.

A localização do centro de massa também não depende do sistema de referência que é utilizado para estabelecer as posições das partículas, pois é uma propriedade que depende da configuração do próprio objeto e não de como ele é visto a partir de diferentes referenciais.

Exercícios resolvidos

- Exercício 1

Em muitos casos, os professores atribuem pesos ou porcentagens diferentes para cada atividade de avaliação em sua cadeira. Assim, por exemplo, as tarefas têm uma percentagem, as provas curtas outra diferente e a prova de fim de curso provavelmente muito superior.

Suponha que em uma determinada disciplina, as atividades de avaliação e seus respectivos pesos sejam os seguintes:

- Trabalho doméstico: 20%

-Exames curtos: 25%

-Relatórios laboratoriais: 25%

-Exame final: 30%

a) Como o professor calcula a nota final desta disciplina para cada aluno?

b) Suponha que as notas de um determinado aluno sejam, em uma escala de 1 a 5, as seguintes:

-Tarefas: 5,0 pontos

-Exames curtos: 4,7 pontos

-Relatórios laboratoriais: 4,2 pontos

- Exame final: 3,5 pontos

Encontre a nota final do aluno nesta disciplina.

Solução

a) Cada avaliação tem um peso diferente, que o professor atribui de acordo com a sua complexidade e a seu critério. Desta forma, a nota final é calculada diretamente como:

Definitivo = (Trabalho de casa x20% + Exames curtos x25% + Relatórios x25% + Exame final x30%) / 100

b) Definitivo = (5,0 x 0,2) + (4,7 x 0,25) + (4,2 x 0,25) + (3,5 x 0,3) pontos = 4,275 pontos ≈ 4,3 pontos

- Exercício 2

Os donos de uma loja de roupas compraram jeans de três fornecedores diferentes.

O primeiro vendeu 12 unidades a um preço de 15 € cada, o segundo 20 unidades a 12,80 € cada e um terceiro comprou um lote de 80 unidades a 11,50 €.

Qual é o preço médio que os lojistas pagam por cada vaqueiro?

Solução

x_p = (12 x 15 + 20 x 12,80 +80 x 11,50) / (12 + 20 + 80) € = 12,11 €

O valor de cada jeans é de € 12,11, independentemente de alguns custarem um pouco mais e outros um pouco menos. Teria sido exatamente o mesmo se os donos das lojas tivessem comprado os 112 jeans de um único vendedor que os vendeu por € 12,11 a peça.

Referências

Arvelo, A. Measures of Central Tendency. Recuperado de: franarvelo.wordpress.com
Mendenhall, W. 1981. Statistics for Management and Economics. 3º edição. Grupo Editorial Iberoamérica.
Moore, D. 2005. Estatísticas Básicas Aplicadas. 2ª Edição.
Triola, M. 2012. Elementary Statistics. 11º. Ed. Pearson Education.
Wikipedia. Média ponderada. Recuperado de: en.wikipedia.org