Interpolação linear: método, exercícios resolvidos - Ciência - 2023

Contente

o interpolação linear É um método que se origina da interpolação geral de Newton e permite determinar por aproximação um valor desconhecido que está entre dois números dados; ou seja, um valor intermediário é encontrado. Também se aplica a funções aproximadas, onde os valores f_(para) e f_(b)são conhecidos e você deseja saber o intermediário de f_(x).

Existem diferentes tipos de interpolação, como linear, quadrática, cúbica e de graus superiores, sendo a mais simples a aproximação linear. O preço que deve ser pago com interpolação linear é que o resultado não será tão preciso quanto com aproximações usando funções de graus superiores.

Definição

A interpolação linear é um processo que permite deduzir um valor entre dois valores bem definidos, que podem estar em uma tabela ou em um gráfico de linha.

Por exemplo, se você sabe que 3 litros de leite valem $ 4 e que 5 litros valem $ 7, mas deseja saber qual é o valor de 4 litros de leite, interpola para determinar esse valor intermediário.

Método

Para estimar um valor intermediário de uma função, a função f é aproximada_(x) por meio de uma linha r_(x), o que significa que a função varia linearmente com "x" para uma seção "x = a" e "x = b"; isto é, para um valor "x" no intervalo (x₀, x₁) e e₀, Y₁), o valor de "y" é dado pela linha entre os pontos e é expresso pela seguinte relação:

(e e₀) ÷ (x - x₀) = (e₁ - Y₀) ÷ (x₁- x₀)

Para que uma interpolação seja linear, o polinômio de interpolação deve ser de grau um (n = 1), de modo que se ajuste aos valores de x₀ e x_1.

A interpolação linear baseia-se na semelhança de triângulos, de forma que, derivando geometricamente da expressão anterior, pode-se obter o valor de "y", que representa o valor desconhecido para "x".

Desta forma, você deve:

a = tan Ɵ = (perna oposta₁ ÷ perna adjacente₁) = (perna oposta₂ ÷ perna adjacente₂)

Expresso de outra forma, é:

(e e₀) ÷ (x - x₀) = (e₁ - Y₀) ÷ (x₁- x₀)

Resolvendo por "e" a partir das expressões, temos:

(e e₀) _*(x₁- x₀) = (x - x₀) _*(Y₁ - Y₀)

(e e₀) = (e₁ - Y₀) _* [(x - x₀) ÷ (x₁- x₀)]

Assim, a equação geral para interpolação linear é obtida:

y = y_{0 +}(Y₁ - Y₀)_* [(x - x₀) ÷ (x₁- x₀)]

Em geral, a interpolação linear fornece um pequeno erro no valor real da função verdadeira, embora o erro seja mínimo em comparação com se você escolher intuitivamente um número próximo ao que deseja encontrar.

Este erro ocorre ao tentar aproximar o valor de uma curva com uma linha reta; Nestes casos, o tamanho do intervalo deve ser reduzido para tornar a aproximação mais precisa.

Para melhores resultados quanto à aproximação, é aconselhável utilizar funções de grau 2, 3 ou até graus superiores para realizar a interpolação. Para esses casos, o teorema de Taylor é uma ferramenta muito útil.

Exercícios resolvidos

Exercício 1

O número de bactérias por unidade de volume existente em uma incubação após x horas é apresentado na tabela a seguir. Você quer saber qual é o volume da bactéria para o tempo de 3,5 horas.

Solução

A tabela de referência não estabelece um valor que indique a quantidade de bactérias para um tempo de 3,5 horas, mas existem valores superiores e inferiores correspondentes a um tempo de 3 e 4 horas, respectivamente. Dessa forma:

x₀ = 3 e₀= 91

x = 3,5 y =?

x₁= 4 e₁ = 135

Agora, a equação matemática é aplicada para encontrar o valor interpolado, que é o seguinte:

y = y_{0 +}(Y₁ - Y₀)_* [(x - x₀) ÷ (x₁- x₀)].

Em seguida, os valores correspondentes são substituídos:

y = 91 + (135 - 91) _*[(3,5 – 3) ÷ (4 – 3)]

y = 91 + (44)_* [(0,5) ÷ (1)]

y = 91 + 44 _*0,5

y = 113.

Assim, obtém-se que, para um tempo de 3,5 horas, o número de bactérias seja de 113, o que representa um nível intermediário entre o volume de bactérias existentes nos tempos de 3 e 4 horas.

Exercício 2

Luís tem uma fábrica de sorvetes e quer fazer um estudo para determinar a receita que teve em agosto com base nas despesas realizadas. O administrador da empresa faz um gráfico que expressa essa relação, mas Luis quer saber:

Qual é a receita de agosto, se uma despesa de $ 55.000 tiver ocorrido?

Solução

É apresentado um gráfico com valores de receitas e despesas. Luis quer saber qual seria a receita de agosto se a fábrica tivesse uma despesa de US $ 55.000. Este valor não é refletido diretamente no gráfico, mas os valores são maiores e menores do que isso.

Primeiro é feita uma tabela onde relacionar facilmente os valores:

Agora, a fórmula de interpolação é usada para determinar o valor de y

y = y_{0 +}(Y₁ - Y₀)_* [(x - x₀) ÷ (x₁- x₀)]

Em seguida, os valores correspondentes são substituídos:

y = 56.000 + (78.000 - 56.000) _*[(55.000 – 45.000) ÷ (62.000 – 45.000)]

y = 56.000 + (22.000) _*[(10.000) ÷ (17.000)]

y = 56.000 + (22.000)_* (0,588)

y = 56.000 + 12.936

y = $ 68.936.

Se uma despesa de $ 55.000 foi feita em agosto, a receita foi de $ 68.936.

Referências

Arthur Goodman, L. H. (1996). Álgebra e trigonometria com geometria analítica. Pearson Education.
Harpe, P. d. (2000). Tópicos em Teoria Geométrica dos Grupos. University of Chicago Press.
Hazewinkel, M. (2001). Linear interpolation ", Encyclopedia of Mathematics.
, J. M. (1998). Elementos de métodos numéricos para Engenharia. UASLP.
, E. (2002). Uma cronologia de interpolação: da astronomia antiga ao moderno processamento de sinais e imagens. Procedimentos do IEEE.
numérico, I. a. (2006). Xavier Tomàs, Jordi Cuadros, Lucinio González.