Multiplicativo inverso: explicação, exemplos, exercícios resolvidos - Ciência - 2023

Contente

É compreendido por Multiplicativo inverso de um número, outro número que multiplicado pelo primeiro dá como resultado o elemento neutro do produto, ou seja, a unidade. Se você tem um número real para então seu inverso multiplicativo é denotado por para^-1, e é verdade que:

a a^-1 = a^-1 a = 1

Normalmente o número para pertence ao conjunto de números reais.

Se por exemplo tomarmos a = 2, então seu inverso multiplicativo é 2^-1 = ½ uma vez que o seguinte é verificado:

2 ⋅ 2^-1 = 2^-1⋅ 2 = 1

2⋅ ½ = ½ ⋅ 2 = 1

Ao Multiplicativo inverso de um número também é chamado de recíproca, porque o inverso multiplicativo é obtido trocando numerador e denominador, por exemplo, o inverso multiplicativo de 3/4 é 4/3.

Como regra geral, pode-se dizer que para um número racional (p / q) seu inverso multiplicativo (p / q)^-1 É recíproco (q / p) como pode ser verificado abaixo:

(p / q) ⋅ (p / q)^-1 = (p / q) ⋅ (q / p) = (p⋅ q) / (q⋅ p) = (p⋅ q) / (p⋅ q) = 1

O inverso multiplicativo não existe no conjunto numérico de inteirosPor exemplo, se o inteiro 2 for tomado, seu inverso multiplicativo de acordo com o que foi visto acima seria ½, mas ½ não é um número inteiro.

Também não há inverso multiplicativo do elemento nulo de multiplicação. Em outras palavras, o número zero (0), que é o elemento nulo da operação de multiplicação, não tem inverso multiplicativo, pois não há número que seja multiplicado pela unidade zero.

O inverso multiplicativo existe em números racionais, em números reais e em números complexos.

Exemplos de inverso multiplicativo

Exemplo 1

Encontre o inverso multiplicativo de 3/2 e verifique se ele cumpre a propriedade dos inteiros multiplicativos.

De acordo com a regra dada acima, o numerador e o denominador são trocados, desta forma o inverso multiplicativo de (3/2) é (2/3). Para verificar a multiplicação dos dois números é realizada:

(3/2) ⋅ (2/3) = (3 ⋅ 2) / (2 ⋅ 3) = 6/6 = 1.

Para multiplicar dois números fracionários, basta multiplicar o numerador do primeiro pelo numerador do segundo para obter o numerador do resultado.

Para obter o denominador de um produto de números fracionários, proceda de forma semelhante, ou seja, os denominadores são multiplicados juntos e o resultado é o denominador do produto. Em nosso exemplo verifica-se que o numerador do produto do número e seu recíproco é 6 e o denominador é 6, restando a fração 6/6 que é 1.

Exemplo 2

O inverso multiplicativo de -5 não deve ser confundido com seu simétrico (+5), que às vezes é chamado de inverso aritmético. O inverso multiplicativo será obtido da seguinte forma:

(-5) ⋅ X = 1

Onde X é o inverso multiplicativo a ser obtido. Um procedimento possível é resolver para o X desconhecido. Como (-5) multiplica o X desconhecido no membro esquerdo, então isso acontece dividindo o membro direito:

X = 1 / (-5)

Uma vez que se sabe que + entre - é -, então X é finalmente obtido:

X = - ⅕.

Em conclusão - ⅕ é o inverso multiplicativo de -5.

Exemplo 3

Obtenha o inverso multiplicativo de -√2. Suponha que o inverso multiplicativo seja X, então -√2 multiplicado por X deve ser unitário, uma condição que impomos a seguir:

-√2 ⋅ X = 1

Ambos os membros são então divididos por -√2 para obter:

(-√2 ⋅ X) / (-√2) = 1 / (-√2)

No primeiro membro -√2 é simplificado, deixando:

X = 1 / (-√2)

Essa expressão pode ser racionalizada, ou seja, eliminar a raiz do denominador, multiplicando no numerador por (-√2) e no denominador pelo mesmo valor para que o resultado não seja alterado:

X = (-√2) / [(-√2) (- √2)] = - (√2 / 2)

Em conclusão - (√2 / 2) é o inverso multiplicativo de (-√2).

Exemplo 4

Suponha qualquer número x, obtenha seu inverso multiplicativo e represente-o graficamente.

Nesse caso, é uma função f (x) = x, obter o inverso multiplicativo é encontrar a função g (x) tal que multiplicada pelo primeiro número da unidade. A função g é a recíproca de f e não deve ser confundida de forma alguma com sua função inversa.

Em outras palavras, o inverso multiplicativo de x é um y tal que o seguinte é verdadeiro:

x ⋅ y = 1

de onde limpar e você tem:

y = 1 / x.

O acima é interpretado assim, dado um valor de x, a fórmula anterior nos dá seu inverso multiplicativo.

É possível fazer sua representação gráfica conforme mostrado na figura a seguir:

Exercícios

Exercício 1

Dado x = 2 - √2, obtenha seu inverso multiplicativo y.

Solução:

Para y ser um inverso multiplicativo de x, a seguinte igualdade deve ser válida:

x ⋅ y = 1

Substitua x por seu valor:

(2 - √2) ⋅ y = 1

Em seguida, limpe e:

y = 1 / (2 - √2)

Para racionalizar o resultado, multiplique o numerador e o denominador pelo binômio conjugado:

y = (2 + √2) / ((2 + √2) (2 - √2))

No denominador, reconhecemos um produto notável denominado produto de uma soma e uma diferença, que é a diferença dos quadrados. Desta forma, a raiz do denominador desaparece.

y = (2 + √2) / (2 ^ 2 - (√2) ^ 2)

Resolvendo os poderes:

y = (2 + √2) / (4 - 2)

Simplificando:

y = (2 + √2) / 2

Exercício 2

Obtenha o inverso multiplicativo de (1 / a + 1 / b) onde aeb são números reais diferentes de zero.

Solução:

Chamamos de Y o inverso multiplicativo de (1 / a + 1 / b), então a seguinte equação deve ser satisfeita:

E ⋅ (1 / a + 1 / b) = 1

A variável Y é apagada:

Y = 1 / (1 / a + 1 / b)

O denominador está resolvido:

Y = 1 / ((b + a) / a b)

Como é conhecido pelas regras da álgebra, o denominador do denominador passa para o numerador:

Y = (a b) / (b + a)

É ordenado para finalmente obter:

(a b) / (a + b) que é o inverso multiplicativo de (1 / a + 1 / b).

Exercício 3

Obtenha o inverso multiplicativo de (a - b) / (a ^ 2 - b ^ 2).

Solução:

Lembre-se de que o inverso multiplicativo também é chamado de recíproco porque é obtido precisamente pela troca do numerador e do denominador.

Então, o inverso multiplicativo de (a - b) / (a ^ 2 - b ^ 2) será:

(a ^ 2 - b ^ 2) / (a - b)

Mas essa expressão pode ser simplificada se reconhecermos, de acordo com as regras da álgebra, que o numerador é uma diferença de quadrados que pode ser fatorada como o produto de uma soma por uma diferença:

((a + b) (a - b)) / (a - b)

Como existe um fator comum (a - b) no numerador e no denominador, passamos a simplificar, obtendo finalmente:

(a + b) que é o inverso multiplicativo de (a - b) / (a ^ 2 - b ^ 2).

Referências

Fuentes, A. (2016). MATEMÁTICA BÁSICA. Uma introdução ao cálculo. Lulu.com.
Garo, M. (2014). Matemática: equações quadráticas: Como resolver uma equação quadrática. Marilù Garo.
Haeussler, E. F., & Paul, R. S. (2003). Matemática para gestão e economia. Pearson Education.
Jiménez, J., Rofríguez, M., & Estrada, R. (2005). Matemática 1 SEP. Limite.
Preciado, C. T. (2005). Curso de Matemática 3º. Editorial Progreso.
Rock, N. M. (2006). Álgebra I é fácil! Tão fácil. Equipe Rock Press.
Sullivan, J. (2006). Álgebra e trigonometria. Pearson Education.