Derivada de cotangente: cálculo, prova, exercícios - Ciência - 2023

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o derivado da cotangente é igual ao oposto do quadrado da cossecante "-Csc²”. Esta fórmula obedece às leis da derivada por definição e diferenciação das funções trigonométricas. É denotado da seguinte forma:

d (ctg u) = -csc²ou du

Onde "du" simboliza a expressão derivada da função argumento, em relação à variável independente.

Como é calculado?

O procedimento para desenvolver esses derivados é bastante simples. Tudo que você precisa fazer é identificar corretamente o argumento e o tipo de função que ele representa.

Por exemplo, a expressão Ctg (f / g) possui uma divisão em seu argumento. Isso exigirá uma diferenciação em relação a U / V, após desenvolver a derivada da cotangente.

A cotangente é a recíproca da tangente. Algebricamente, isso significa que:

(1 / tg x) = ctg x

Ctg x = Cos x / Sen x

É incorreto dizer que a função cotangente é o "inverso" da tangente. Isso ocorre porque a função tangente inversa, por definição, é o arco tangente.

(Tg^-1x) = arctg x

De acordo com a trigonometria pitagórica, a cotangente está envolvida nas seguintes seções:

Ctg x = (cos x) / (sin x)

Ctg²x + 1 = Csc²x

De acordo com a trigonometria analítica, ele responde às seguintes identidades:

Ctg (a + b) = (1 - tg a. Tg b) / (tg a + tg b)

Ctg (a - b) = (1 + tg a. Tg b) / (tg a - tg b)

Ctg (2a) = (1 - tg² a) / (2tg a)

Características da função cotangente

É necessário analisar várias características da função f (x) = ctg x para definir os aspectos necessários para estudar sua diferenciabilidade e aplicação.

Assíntotas verticais

A função cotangente não é definida nos valores que tornam a expressão "Senx" zero. Devido ao seu equivalente Ctg x = (cos x) / (sin x), terá uma indeterminação em todos os “nπ” com n pertencendo aos inteiros.

Ou seja, em cada um desses valores de x = nπ haverá uma assíntota vertical. Conforme você se aproxima da esquerda, o valor da cotangente diminui rapidamente e, conforme você se aproxima da direita, a função aumenta indefinidamente.

Domínio

O domínio da função cotangente é expresso pelo conjunto {x ∈ R / x ≠ nπ, n ∈ Z}. Isso é lido como "x pertencente ao conjunto de números reais tal que x é diferente de nπ, com n pertencendo ao conjunto de inteiros".

Classificação

O intervalo da função cotangente é de menos a mais infinito. Portanto, pode-se concluir que seu posto é o conjunto de números reais R.

Frequência

A função cotangente é periódica e seu período é igual a π. Desta forma, a igualdade Ctg x = Ctg (x + nπ) é cumprida, onde n pertence a Z.

Comportamento

É uma função ímpar, pois Ctg (-x) = - Ctg x. Desta forma, sabe-se que a função apresenta uma simetria em relação à origem das coordenadas. Também apresenta diminuição a cada intervalo localizado entre 2 assíntotas verticais sucessivas.

Não possui valores máximos ou mínimos, devido ao fato de que suas aproximações às assíntotas verticais apresentam comportamentos onde a função aumenta ou diminui indefinidamente.

Os zeros ou raízes da função cotangente são encontrados em múltiplos ímpares de π / 2. Isso significa que Ctg x = 0 vale para valores da forma x = nπ / 2 com n inteiro ímpar.

Demonstração

Existem 2 maneiras de provar a derivada da função cotangente.

Prova diferencial trigonométrica

A derivada da função cotangente de seu equivalente em senos e cossenos é provada.

É tratado como o derivado de uma divisão de funções

Após derivar os fatores são agrupados e o objetivo é emular as identidades pitagóricas

Substituindo as identidades e aplicando reciprocidade, obtém-se a expressão

Prova por definição de derivada

A seguinte expressão corresponde à derivada por definição. Onde a distância entre 2 pontos da função se aproxima de zero.

Substituindo o cotangente, temos:

As identidades são aplicadas pela soma dos argumentos e reciprocidade

A fração do numerador é tradicionalmente operada

Eliminando os elementos opostos e tomando um fator comum, obtemos

Aplicando identidades pitagóricas e reciprocidade, temos que

Os elementos avaliados em x são constantes com respeito ao limite, portanto podem sair do argumento deste. Em seguida, as propriedades dos limites trigonométricos são aplicadas.

O limite é avaliado

Em seguida, é fatorado até que o valor desejado seja alcançado

A derivada da cotangente é assim demonstrada como o oposto do quadrado da cossecante.

Exercícios resolvidos

Exercício 1

De acordo com a função f (x), defina a expressão f '(x)

A derivação correspondente é aplicada respeitando a regra da cadeia

Derivando o argumento

Às vezes é necessário aplicar identidades recíprocas ou trigonométricas para adaptar as soluções.

Exercício 2

Defina a expressão diferencial correspondente a F (x)

De acordo com a fórmula de derivação e respeitando a regra da cadeia

O argumento é derivado, enquanto o resto permanece o mesmo

Derivando todos os elementos

Operando de forma tradicional os produtos da mesma base

Os elementos iguais são adicionados e o fator comum é extraído

Os sinais são simplificados e operados. Abrindo caminho para a expressão totalmente derivada

Referências

Trigonometric Series, Volume 1. A. Zygmund. Cambridge University Press, 2002
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Dinâmica de sistemas: modelagem, simulação e controle de sistemas mecatrônicos. Dean C. Karnopp, Donald L. Margolis, Ronald C. Rosenberg. John Wiley & Sons, 7 de março 2012
Cálculo: Matemática e Modelagem. William Bauldry, Joseph R. Fiedler, Frank R. Giordano, Ed Lodi, Rick Vitray. Addison Wesley Longman, 1º de janeiro 1999