Função injetiva: o que é, para que serve e exemplos - Ciência - 2023

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Função injetiva: o que é, para que serve e exemplos - Ciência
Função injetiva: o que é, para que serve e exemplos - Ciência

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UMA função injetiva é qualquer relação de elementos do domínio com um único elemento do codomínio. Também conhecido como função um a um ( 1 – 1 ), fazem parte da classificação de funções no que diz respeito à forma como seus elementos estão relacionados.

Um elemento do codomínio só pode ser a imagem de um único elemento do domínio, dessa forma os valores da variável dependente não podem ser repetidos.

Um exemplo claro seria agrupar homens com empregos no grupo A e no grupo B todos os chefes. A função F será aquele que associa cada trabalhador ao seu chefe. Se cada trabalhador estiver associado a um chefe diferente por meio F, tão F será uma função injetiva.

Considerar injetivo para uma função, o seguinte deve ser cumprido:


∀ x1 ≠ x2 ⇒ F (x1 ) ≠ F (x2 )

Esta é a maneira algébrica de dizer Para todos os x1 diferente de x2 você tem um F (x1 ) diferente de F (x2 ).

Para que servem as funções injetivas?

A injetividade é uma propriedade das funções contínuas, pois garantem a atribuição de imagens para cada elemento do domínio, aspecto essencial na continuidade de uma função.

Ao desenhar uma linha paralela ao eixo X no gráfico de uma função injetiva, você só deve tocar no gráfico em um único ponto, não importa em que altura ou magnitude de Y a linha está desenhada. Esta é a forma gráfica de testar a injetividade de uma função.

Outra maneira de testar se uma função é injetivo, está resolvendo para a variável independente X em termos da variável dependente Y. Em seguida, deve-se verificar se o domínio desta nova expressão contém os números reais, ao mesmo tempo que para cada valor de Y existe um único valor de X.


As funções ou relações de ordem obedecem, entre outras formas, à notação F: DF→CF

O que é lido F correndo de DF até CF

Onde a função F relacionar os conjuntos Domínio Y Codomain. Também conhecido como conjunto inicial e conjunto de acabamento.

O domínio DF contém os valores permitidos para a variável independente. O codomínio CF É composto por todos os valores disponíveis para a variável dependente. Os elementos de CF relacionado a DF são conhecidos como Faixa de função (RF ).

Condicionamento de função

Às vezes, uma função que não é injetiva pode estar sujeita a certas condições. Essas novas condições podem torná-lo um função injetiva. Todos os tipos de modificações no domínio e no codomínio da função são válidos, onde o objetivo é cumprir as propriedades de injetividade na relação correspondente.


Exemplos de funções de injeção com exercícios resolvidos

Exemplo 1

Deixe a função F: R → R definido pela linha F (x) = 2x - 3

R: [Todos os números reais]

Observa-se que para cada valor do domínio existe uma imagem no codomínio. Esta imagem é única, o que torna F uma função injetiva. Isso se aplica a todas as funções lineares (funções cujo maior grau da variável é um).

Exemplo 2

Deixe a função F: R → R definido por F (x) = x2 +1

Ao traçar uma linha horizontal, observa-se que o gráfico é encontrado em mais de uma ocasião. Por causa disso, a função F não é injetivo, desde que seja definido R → R

Prosseguimos para condicionar o domínio da função:

F: R+OU { 0 } → R

Agora a variável independente não assume valores negativos, evitando-se a repetição dos resultados e a função F: R+OU { 0 } → R definido por F (x) = x2 + 1 é injetivo.

Outra solução homóloga seria limitar o domínio à esquerda, ou seja, restringir a função para assumir apenas valores negativos e zero.

Prosseguimos para condicionar o domínio da função

F: R–OU { 0 } → R

Agora a variável independente não assume valores negativos, evitando-se a repetição dos resultados e a função F: R–OU { 0 } → R definido por F (x) = x2 + 1 é injetivo.

As funções trigonométricas têm comportamentos de onda, onde é muito comum encontrar repetições de valores na variável dependente. Por meio de condicionamento específico, com base no conhecimento prévio dessas funções, podemos limitar o domínio para atender às condições de injetividade.

Exemplo 3

Deixe a função F: [-π/2 , π/2 ] → R definido por F (x) = Cos (x)

No intervalo [ –π/2 → π/2 ] a função cosseno varia seus resultados entre zero e um.

Como pode ser visto no gráfico. Comece do zero em x =–π / 2 atingindo então um máximo em zero. É depois x = 0 que os valores comecem a se repetir, até que voltem a zero em x = π / 2. Desta forma, sabe-se que F (x) = Cos (x) não é injetivo para o intervalo [ –π/2 , π/2 ] .

Ao estudar o gráfico da função F (x) = Cos (x) São observados intervalos onde o comportamento da curva se adapta aos critérios de injetividade. Como o intervalo

[ 0 , π ]

Onde a função varia resulta de 1 a -1, sem repetir nenhum valor na variável dependente.

Desta forma, a função função F: [0 , π ] → R definido por F (x) = Cos (x). É injetivo

Existem funções não lineares onde ocorrem casos semelhantes. Para expressões de tipo racional, onde o denominador contém pelo menos uma variável, existem restrições que impedem a injetividade da relação.

Exemplo 4

Deixe a função F: R → R definido por F (x) = 10 / x

A função é definida para todos os números reais, exceto { 0 } quem tem uma indeterminação (não pode ser dividido por zero).

Conforme a variável dependente se aproxima de zero a partir da esquerda, ela assume valores negativos muito grandes e, imediatamente após zero, os valores da variável dependente assumem grandes números positivos.

Essa interrupção faz com que a expressão F: R → R definido por F (x) = 10 / x

Não seja injetivo.

Como visto nos exemplos anteriores, a exclusão de valores no domínio serve para "reparar" essas indeterminações. Prosseguimos para excluir zero do domínio, deixando os conjuntos de partida e chegada definidos da seguinte forma:

R - {0} → R

Onde R - {0} simboliza os reais, exceto para um conjunto cujo único elemento é zero.

Desta forma, a expressão F: R - {0} → R definido por F (x) = 10 / x é injetivo.

Exemplo 5

Deixe a função F: [0 , π ] → R definido por F (x) = Sen (x)

No intervalo [ 0 , π ] a função seno varia seus resultados entre zero e um.

Como pode ser visto no gráfico. Comece do zero em x =0 então atingindo um máximo em x = π / 2. É depois x = π / 2 que os valores começam a se repetir, até que voltem a zero em x = π. Desta forma, sabe-se que F (x) = Sen (x) não é injetivo para o intervalo [ 0 , π ] .

Ao estudar o gráfico da função F (x) = Sen (x) intervalos são observados onde o comportamento da curva se adapta aos critérios de injetividade. Como o intervalo[  π/2  ,3π/2  ]

Onde a função varia resulta de 1 a -1, sem repetir nenhum valor na variável dependente.

Desta forma, a função F: [ π/2  ,3π/2 ] → R definido por F (x) = Sen (x). É injetivo

Exemplo 6

Verifique se a função F: [0, ∞) → R definido por F (x) = 3x2 é injetivo.

Desta vez, o domínio da expressão já está limitado. Observa-se também que os valores da variável dependente não se repetem neste intervalo.

Portanto, pode-se concluir que F: [0, ∞) → R definido por F (x) = 3x2   é injetivo

Exemplo 7

Identifique qual das seguintes funções é

  1. É injetivo. Os elementos associados do codomínio são exclusivos para cada valor da variável independente.
  2. Não é injetivo. Existem elementos do codomínio associados a mais de um elemento do conjunto inicial.
  3. É injetivo
  4. Não é injetivo

Exercícios propostos para aula / casa

Verifique se as seguintes funções são injetivas:

F: [0, ∞) →R definido por F (x) = (x + 3)2  

F: [ π/2  ,3π/2 ] → R definido por F (x) = Tan (x)

F: [-π  ,π ] → R definido por F (x) = Cos (x + 1)

F: R →R definido pela linha F (x) = 7x + 2

Referências

  1. Introdução à lógica e ao pensamento crítico. Merrilee H. Salmon. Universidade de Pittsburgh
  2. Problemas em Análise Matemática. Piotr Biler, Alfred Witkowski. Universidade de Wroclaw. Polônia.
  3. Elementos de análise abstrata. Mícheál O’Searcoid PhD. Departamento de matemática. Faculdade universitária Dublin, Beldfield, Dublind 4.
  4. Introdução à Lógica e à Metodologia das Ciências Dedutivas. Alfred Tarski, New York Oxford. Imprensa da Universidade de Oxford.
  5. Princípios de análise matemática. Enrique Linés Escardó. Editorial Reverté S. A 1991. Barcelona Espanha.