Soma de Riemann: história, fórmulas e propriedades, exercícios - Ciência - 2023

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o Soma de Riemann é o nome dado ao cálculo aproximado de uma integral definida, por meio de uma soma discreta com um número finito de termos. Uma aplicação comum é a aproximação da área de funções em um gráfico.

Foi o matemático alemão Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866) quem primeiro ofereceu uma definição rigorosa da integral de uma função em um determinado intervalo. Ele tornou isso conhecido em um artigo publicado em 1854.

A soma de Riemann é definida em uma função y = f (x), com x pertencendo ao intervalo fechado [a, b]. Neste intervalo, uma partição P de n elementos é feita:

P = {x₀= a, x₁, x₂,…, X_n= b}

Isso significa que o intervalo é dividido da seguinte forma:

x_k-1 ≤ t_k ≤ x_k

A Figura 1 mostra graficamente a soma de Riemann da função f no intervalo [x₀, x₄] em uma partição de quatro subintervalos, os retângulos em cinza.

A soma representa a área total dos retângulos e o resultado desta soma aproxima numericamente a área sob a curva f, entre as abcissas x = x₀ y x = x₄.

Claro, a aproximação da área sob a curva melhora muito à medida que o número n partições é maior. Desta forma, a soma converge para a área sob a curva, quando o número n de partições tende ao infinito.

Fórmulas e propriedades

A soma de Riemann da função f (x) na partição:

P = {x₀= a, x₁, x₂,…, X_n= b}

Definido no intervalo [a, b], é dado por:

S (P, f) = ∑_{_{k = 1}}^ⁿ f (t_k) (x_k - x_k-1)

Onde T_k é um valor no intervalo [x_k, x_k-1] Na soma de Riemann, intervalos regulares de largura Δx = (b - a) / n são normalmente usados, onde aeb são os valores mínimo e máximo da abcissa, enquanto n é o número de subdivisões.

Nesse caso, o Riemann soma certa isto é:

Sd (f, n) = [f (a + Δx) + f (a + 2Δx) +… + f (a + (n-1) Δx) + f (b)] * Δx

Enquanto o Riemann deixou a soma é expresso como:

Se (f, n) = [f (a) + f (a + Δx) +… + f (a + (n-1) Δx)] * Δx

Finalmente, o soma de Riemann central isto é:

Sc (f, n) = [f (a + Δx / 2) + f (a + 3Δx / 2) +… + f (b- Δx / 2)] * Δx

Dependendo de onde o ponto t está localizado_k no intervalo [x_k, x_k-1] a soma de Riemann pode superestimar ou subestimar o valor exato da área sob a curva da função y = f (x). Ou seja, os retângulos podem ficar fora da curva ou um pouco abaixo dela.

A área sob a curva

A principal propriedade da soma de Riemann e da qual deriva sua importância, é que se o número de subdivisões tende ao infinito, o resultado da soma converge para a integral definida da função:

Exercícios resolvidos

- Exercício 1

Calcule o valor da integral definida entre a = -2 a b = +2 da função:

f (x) = x²

Faça uso de uma soma de Riemann. Para fazer isso, primeiro encontre a soma de n partições regulares do intervalo [a, b] e, em seguida, tome o limite matemático para o caso em que o número de partições tende ao infinito.

Solução

Estas são as etapas a seguir:

- Defina primeiro o intervalo das partições como:

Δx = (b - a) / n.

-Então, a soma de Riemann certa correspondente à função f (x) fica assim:

[-2 + (4i / n)]² = 4 - (16 i / n) + (4 / n)² Eu²

-E então é cuidadosamente substituído na soma:

-O próximo passo é separar as somas e tomar as quantidades constantes como um fator comum de cada soma. É preciso levar em consideração que o índice é i, portanto os números e os termos com n são considerados constantes:

-Cada somatório é avaliado, pois para cada um deles existem expressões adequadas. Por exemplo, a primeira das somas fornece n:

S (f, n) = 16 - 64 (n + 1) / 2n + 64 (n + 1) (2n + 1) / 6n²

-Finalmente, a integral a ser calculada é:

= 16 -(64/2) + (64/3) = 16/3 = 5,333

O leitor pode verificar se este é o resultado exato, que pode ser obtido resolvendo a integral indefinida e avaliando os limites de integração pela regra de Barrow.

- Exercício 2

Determine aproximadamente a área sob a função:

f (x) = (1 / √ (2π)) e^(-x²/2)

Insira x = -1 e x = + 1, usando uma soma de Riemann central com 10 partições. Compare com o resultado exato e estime a diferença percentual.

Solução

O passo ou incremento entre dois valores discretos sucessivos é:

Δx = (1 - (-1) / 10 = 0,2

Portanto, a partição P na qual os retângulos são definidos se parece com isto:

P = {-1,0; -0,8; -0,6; -0,4; -0,2; 0,0; 0,2; 0,4; 0,6; 0,8; 1.0}

Mas como o que se deseja é a soma central, a função f (x) será avaliada nos pontos médios dos subintervalos, ou seja, no conjunto:

T = {-0,9; -0,7; -0,5; -0,3; -0,1; 0,1; 0,3; 0,5; 0,7; 0,9}.

A soma de Riemann (central) é assim:

S = f (-0,9) * 0,2 + f (-0,7) * 0,2 + f (-0,5) * 0,2 +… + f (0,7) * 0,2 + f (0,9) * 0,2

Como a função f é simétrica, é possível reduzir a soma para apenas 5 termos e o resultado é multiplicado por dois:

S = 2 * 0,2 * {f (0,1) + f (0,3) + f (0,5) + f (0,7) + f (0,9)}

S = 2 * 0,2 * {0,397+ 0,381+ 0,352+ 0,312+ 0,266} = 0,683

A função dada neste exemplo não é outra senão o conhecido sino Gaussiano (normalizado, com média igual a zero e desvio padrão um). A área sob a curva no intervalo [-1,1] para esta função é conhecida como 0,6827.

Isso significa que a solução aproximada com apenas 10 termos corresponde à solução exata para três casas decimais. O erro percentual entre o integral aproximado e exato é de 0,07%.

Referências

Casteleiro, J. M., & Gómez-Álvarez, R. P. (2002). Cálculo integral (ed. Ilustrada). Madrid: Editorial ESIC.
Unican. História do conceito de integral. Recuperado de: repositorio.unican.es
UIS. Riemann soma. Recuperado de: matematicas.uis.edu.co
Wikipedia. Soma de Riemann. Recuperado de: es.wikipedia.com
Wikipedia. Integração de Riemann. Recuperado de: es.wikipedia.com