Números racionais: propriedades, exemplos e operações - Ciência - 2023

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onúmeros racionais são todos os números que podem ser obtidos como a divisão de dois números inteiros. Exemplos de números racionais são: 3/4, 8/5, -16/3 e aqueles que aparecem na figura a seguir. Em um número racional é indicado o quociente, podendo ser feito posteriormente se necessário.

A figura representa qualquer objeto, redondo para maior conforto. Se quisermos dividi-lo em 2 partes iguais, como na direita, temos duas metades restantes e cada uma vale 1/2.

Dividindo-o em 4 partes iguais, teremos 4 peças e cada uma vale 1/4, como na imagem ao centro. E se tiver que ser dividido em 6 partes iguais, cada parte valeria 1/6, o que vemos na imagem à esquerda.

Claro, também poderíamos dividi-lo em duas partes desiguais, por exemplo, poderíamos manter 3/4 partes e salvar 1/4 parte. Outras divisões também são possíveis, como 4/6 partes e 2/6 partes. O importante é que a soma de todas as partes seja 1.

Desta forma, é evidente que com números racionais você pode dividir, contar e distribuir coisas como comida, dinheiro, terra e todos os tipos de objetos em frações. E assim o número de operações que podem ser feitas com números é expandido.

Os números racionais também podem ser expressos na forma decimal, como pode ser visto nos seguintes exemplos:

1/2 = 0,5

1/3 = 0,3333…..

3/4 = 0,75

1/7 = 0,142857142857142857………

Posteriormente, indicaremos como passar de um formulário para outro com exemplos.

Propriedades dos números racionais

Os números racionais, cujo conjunto denotaremos com a letra Q, têm as seguintes propriedades:

-Q inclui os números naturais N e os inteiros Z.

Levando em consideração que qualquer número para Pode ser expresso como o quociente entre ele mesmo e 1, é fácil ver que entre os números racionais também existem números naturais e inteiros.

Assim, o número natural 3 pode ser escrito como uma fração, e também -5:

3 = 3/1

-5= -5/1 = 5/-1 = -(5/1)

Desse modo, Q é um conjunto numérico que inclui um número maior de números, algo muito necessário, já que os números "redondos" não são suficientes para descrever todas as operações possíveis a serem feitas.

-Os números racionais podem ser somados, subtraídos, multiplicados e divididos, sendo o resultado da operação um número racional: 1/2 + 1/5 = 7/10; 1/2 - 1/5 = 3/10; (1/2) x (1/5) = 1/10; (1/2) ÷ (1/5) = 5/2.

-Entre cada par de números racionais, um outro número racional sempre pode ser encontrado. Na verdade, entre dois números racionais, existem números racionais infinitos.

Por exemplo, entre os racionais 1/4 e 1/2 estão os racionais 3/10, 7/20, 2/5 (e muitos mais), o que pode ser verificado expressando-os como decimais.

- Qualquer número racional pode ser expresso como: i) um número inteiro ou ii) um número decimal limitado (estrito) ou periódico: 4/2 = 2; 1/4 = 0,25; 1/6 = 0,166666666 ……

-Um mesmo número pode ser representado por infinitas frações equivalentes e todas elas pertencem a Q. Vejamos este grupo:

Todos eles representam o decimal 0,428571 ...

- De todas as frações equivalentes que representam o mesmo número, a fração irredutível, a mais simples de todas, é a representante canônico desse número. O representante canônico do exemplo acima é 3/7.

Exemplos de números racionais

-Frações adequadas, aquelas em que o numerador é menor que o denominador:

-Frações impróprias, cujo numerador é maior que o denominador:

- Números naturais e números inteiros:

-Frações equivalentes:

Representação decimal de um número racional

Quando o numerador é dividido pelo denominador, a forma decimal do número racional é encontrada. Por exemplo:

2/5 = 0.4

3/8 = 0.375

1/9 = 0.11111…

6/11 = 0.545454…

Nos primeiros dois exemplos, o número de casas decimais é limitado. Isso significa que quando a divisão é feita, um resto de 0 é finalmente obtido.

Por outro lado, nos próximos dois, o número de casas decimais é infinito e por isso as reticências são colocadas. No último caso, há um padrão nos decimais. No caso da fração 1/9, o número 1 se repete indefinidamente, enquanto em 11/06 é 54.

Quando isso acontece, o decimal é considerado periódico e é denotado por um acento circunflexo como este:

Transforme um decimal em uma fração

Se for um decimal limitado, simplesmente remova a vírgula e o denominador se torna a unidade seguida por tantos zeros quantos forem os números no decimal. Por exemplo, para transformar o decimal 1,26 em uma fração, escreva assim:

1.26 = 126/100

Em seguida, a fração resultante é simplificada ao máximo:

126/100 = 63/50

Se o decimal for ilimitado, o período será identificado primeiro. Em seguida, essas etapas são seguidas para encontrar a fração resultante:

-O numerador é a subtração entre o número (sem vírgula ou circunflexo) e a parte que não leva o acento circunflexo.

- O denominador é um número inteiro com até 9 conforme houver figuras sob o circunflexo, e tanto 0 quanto houver figuras de a parte decimal há que não estão sob o circunflexo.

Vamos seguir este procedimento para transformar o número decimal 0,428428428… em uma fração.

-Primeiro identifica-se o ponto, que é a sequência que se repete: 428.

-Então faz-se a operação de subtrair o número sem vírgula ou acento: 0428 da parte que não tem circunflexo, que é 0. Fica assim 428 - 0 = 428.

-O denominador é construído, sabendo-se que sob a circunflexa existem 3 figuras e todas estão sob a circunflexa. Portanto, o denominador é 999.

-Finalmente a fração é formada e simplificada se possível:

0.428= 428/999

Não é possível simplificar mais.

Operações com números racionais

- Adição e subtração

Frações com o mesmo denominador

Quando as frações têm o mesmo denominador, somar e / ou subtrair é muito fácil, pois os numeradores são simplesmente somados algebricamente, deixando o mesmo dos adendos como denominador do resultado. Finalmente, se possível, é simplificado.

Exemplo

Faça a seguinte adição algébrica e simplifique o resultado:

A fração resultante já é irredutível.

Frações com denominadores diferentes

Neste caso, os adendos são substituídos por frações equivalentes com o mesmo denominador e a seguir segue-se o procedimento já descrito.

Exemplo

Adicione algebricamente os seguintes números racionais, simplificando o resultado:

As etapas são:

-Determine o mínimo múltiplo comum (LCM) dos denominadores 5, 8 e 3:

lcm (5,8,3) = 120

Este será o denominador da fração resultante sem simplificação.

-Para cada fração: divida o MMC pelo denominador e multiplique pelo numerador. O resultado desta operação é colocado, com seu respectivo sinal, no numerador da fração. Dessa forma, obtém-se uma fração equivalente ao original, mas com o LCM como denominador.

Por exemplo, para a primeira fração, o numerador é construído assim: (120/5) x 4 = 96 e obtemos:

Proceda da mesma forma para as demais frações:

Por fim, as frações equivalentes são substituídas sem esquecer seu sinal e a soma algébrica dos numeradores é realizada:

(4/5) + (14/8) – (11/3) + 2 = (96/120) + (210/120) – (440/120) + (240/120) =

= (96+210-440+24) / 120 = -110 / 120 = -11/12

- Multiplicação e divisão

A multiplicação e divisão são feitas seguindo as regras mostradas abaixo:

Em todo caso, é importante lembrar que a multiplicação é comutativa, o que significa que a ordem dos fatores não altera o produto. Isso não acontece com a divisão, portanto, deve-se ter cuidado para respeitar a ordem entre dividendo e divisor.

Exemplo 1

Realize as seguintes operações e simplifique o resultado:

a) (5/3) x (8/15)

b) (-4/5) ÷ (2/9)

Responda para

(5/3) x (8/15) = (5 x 8) / (3 x 15) = 15/120 = 1/8

Resposta b

(-4/5) ÷ (2/9) = (-4 x 9) / (5 x 2) = -36 / 10 = -18/5

Exemplo 2

Luisa tinha $ 45. Ele gastou um décimo comprando um livro e 2/5 do que sobrou em uma camiseta. Quanto dinheiro sobrou para Luisa? Expresse o resultado como uma fração irredutível.

Solução

O livro custa (1/10) x $ 45 = 0,1 x $ 45 = $ 4,5

Portanto, Luisa ficou com:

45 – 4.5 $ = 40.5 $

Com esse dinheiro Luisa foi até a loja de roupas e comprou a camisa, cujo preço é:

(2/5) x $ 40,5 = $ 16,2

Agora Luisa tem em seu portfólio:

40.5 – 16.2 $ = 24.3$

Para expressá-lo como uma fração, é escrito assim:

24.3 = 243 / 10

O que é irredutível.

Referências

Baldor, A. 1986. Arithmetic. Codex de edições e distribuições.
Carena, M. 2019. Manual of Mathematics. Universidade Nacional do Litoral.
Figuera, J. 2000. Mathematics 8. Ediciones Co-Bo.
Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
Os números racionais. Recuperado de: Cimanet.uoc.edu.
Números racionais. Recuperado de: webdelprofesor.ula.ve.