Seções cônicas: tipos, aplicações, exemplos - Ciência - 2023

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As seções cônicas são as curvas obtidas pela interceptação de um plano com um cone. Existem várias maneiras de fazer isso; por exemplo, se o plano é passado perpendicularmente ao eixo axial do cone, uma circunferência é obtida.

Inclinando um pouco o plano em relação ao eixo axial do cone, obtém-se uma elipse, uma curva que se fecha, mas se a inclinarmos ainda mais obtém-se uma parábola ou uma hipérbole, como se pode ver na animação da figura 1.

As seções cônicas fazem parte da natureza e do mundo que nos rodeia. Engenharia, arquitetura e astronomia são importantes ramos do conhecimento que fazem uso das cônicas.

Condições para seções cônicas

As seções cônicas são definidas como locais que satisfazem as seguintes condições:

Parábola

É o locus de todos os pontos que se encontram em um plano equidistante de um ponto fixo denominado foco F e uma linha reta também fixa, chamada diretriz.

Elipse

Um ponto no plano pertence a uma elipse se a soma das distâncias entre este ponto e dois outros pontos fixos, chamados holofotes e localizado no eixo principal da elipse, permanece constante.

Circunferência

É o lugar geométrico de todos os pontos que mantêm a mesma distância de outro ponto denominado centro. Essa distância é o rádio da circunferência.

Hipérbole

Conjunto de pontos no plano, de modo que a diferença entre sua distância a dois pontos fixos chamados holofotes, é constante.

Formulários

Vamos ver algumas das aplicações das seções cônicas:

Parábolas

-Quando um objeto é lançado, a trajetória que segue tem a forma de uma parábola.

-As parábolas têm aplicações notáveis na Engenharia, por exemplo em pontes suspensas os cabos pendem em forma de parábolas.

-As parábolas também são boas para fazer refletores e telescópios. Isso se deve a uma propriedade interessante: ao colocar uma luminária no foco de uma superfície transversal parabólica, a luz viajará em raios paralelos ao eixo da parábola.

-Se os raios de luz paralelos ao eixo de simetria se aproximam da superfície parabólica, ele os concentra no foco, circunstância usada para fazer telescópios refletores, como o telescópio Hale no Monte Palomar.

Elipses

-Os planetas do sistema solar movem-se seguindo trajetórias elípticas, bastante próximas da circunferência no caso dos planetas maiores, inclusive a Terra. O Sol não está no centro, mas em um dos focos.

-A elipse é amplamente utilizada na arquitetura como elemento decorativo e de design.

-Ao colocar um refletor em um dos focos de uma elipse, a luz é refletida em direção ao outro foco. O mesmo acontece com o som. Por esse motivo, em salas em forma de elipse, quem fala em voz baixa enquanto está localizado em um foco é claramente ouvido pelos ouvintes localizados no outro foco.

-Esta mesma propriedade tem uma aplicação surpreendente no campo da medicina. As pedras nos rins podem ser destruídas pelo som. Ondas de ultrassom de alta intensidade são geradas em um dos focos de uma banheira elíptica cheia de água, e o paciente é localizado nos demais focos. As ondas sonoras atingem e refletem na pedra, quebrando-a em pequenos pedaços com sua energia, que a pessoa expele facilmente ao urinar.

Hipérboles

-Alguns cometas do Sistema Solar seguem trajetórias hiperbólicas, sempre com o Sol em um dos focos.

-Os focos de hipérboles também são muito interessantes para estudar os fenômenos de reflexão das ondas. Por exemplo, ao direcionar um feixe de luz para o foco de um espelho parabólico ele é refletido no outro foco, uma propriedade muito útil para a construção de telescópios, já que a luz pode ser focada em um espelho parabólico e redirecionada para outro local mais adequado o desenho.

-As torres de resfriamento das usinas nucleares têm uma silhueta em forma de hipérbole.

-Antes do advento do GPS, as hipérboles eram usadas na navegação para localizar barcos.Os navios levavam a bordo receptores de sinais emitidos simultaneamente pelas rádios A e B e um computador ficava encarregado de registrar as diferenças nos tempos de chegada dos sinais, para transformá-los em diferenças de distâncias. Desta forma, o navio está localizado no ramal de uma hipérbole.

O procedimento é repetido com outras duas estações de rádio C e D, o que coloca o navio no ramal de outra hipérbole. A posição final do barco é a interseção de ambas as hipérboles.

Circunferências

-A chegada da roda mudou o curso da história.

-O movimento circular é muito comum, muitas peças giram para produzir vários efeitos, de moinhos a ventiladores.

-Embora as trajetórias dos planetas principais sejam elípticas, as trajetórias circulares são boas aproximações em muitos casos.

-As circunferências são elementos frequentes na arquitetura, design, engenharia e construção. A lista de peças circulares ou em forma de disco é interminável: moedas, CDs, relógios e muito mais.

Exemplos

Abaixo estão duas cônicas no plano, uma circunferência e uma elipse.

Cada um tem uma equação analítica:

Circunferência

(x-h)² + (y-k)² = R²

Onde h e k são as coordenadas do centro e R é o raio. Para a circunferência mostrada na figura, a equação é:

(x + 2)² + (y-2)² = 4

Elipse

A equação da elipse cujo centro é o ponto coordenado (h, k):

[(x-h)² /para² ] + [(y-k)² / b² ]= 1

Onde aeb são os semi-eixos da elipse. Para a elipse mostrada, o centro está no ponto 0,0, o semi-eixo maior é igual a 5 e o semi-eixo menor é 4. Portanto, sua equação é:

(x² / 25) + (e² / 16) = 1

Referências

Hoffman, J. Selection of Mathematics Topics. Volume 2.
Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
Stewart, J. 2006. Precalculus: Mathematics for Calculus. 5 ª. Edição. Cengage Learning.
Wikipedia. Seção cônica. Recuperado de: es.wikipedia.org.
Zill, D. 1984. Algebra and Trigonometry. McGraw Hill.