Distribuição binomial: conceito, equação, características, exemplos - Ciência - 2023

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o distribuição binomial É uma distribuição de probabilidade pela qual se calcula a probabilidade de ocorrência dos eventos, desde que ocorram sob duas modalidades: sucesso ou fracasso.

Essas designações (sucesso ou fracasso) são completamente arbitrárias, uma vez que não significam necessariamente coisas boas ou ruins. Durante este artigo iremos indicar a forma matemática da distribuição binomial e então o significado de cada termo será explicado em detalhes.

Equação

A equação é a seguinte:

Com x = 0, 1, 2, 3… .n, onde:

– P (x) é a probabilidade de ter exatamente x sucessos entre n tentativas ou testes.

– x é a variável que descreve o fenômeno de interesse, correspondendo ao número de sucessos.

– n o número de tentativas

– p é a probabilidade de sucesso em 1 tentativa

– o que é a probabilidade de falha em 1 tentativa, portanto q = 1 - p

O símbolo de admiração "!" é usado para notação fatorial, então:

0! = 1

1! = 1

2! = 2.1 = 2

3! = 3.2.1 = 6

4! = 4.3.2.1 = 24

5! = 5.4.3.2.1 = 120

E assim por diante.

Conceito

A distribuição binomial é muito apropriada para descrever situações em que um evento ocorre ou não. Se ocorrer, é um sucesso e, se não, é um fracasso. Além disso, a probabilidade de sucesso deve sempre permanecer constante.

Existem fenômenos que se enquadram nessas condições, por exemplo, o lançamento de uma moeda. Nesse caso, podemos dizer que "sucesso" é ganhar uma cara. A probabilidade é ½ e não muda, não importa quantas vezes a moeda seja jogada.

O lançamento de um dado honesto é outro bom exemplo, assim como categorizar uma determinada produção em peças boas e peças defeituosas e obter um vermelho em vez de preto ao girar uma roda.

Caracteristicas

Podemos resumir as características da distribuição binomial da seguinte forma:

- Qualquer evento ou observação é extraído de uma população infinita sem reposição ou de uma população finita com reposição.

- Apenas duas opções são consideradas, mutuamente exclusivas: sucesso ou fracasso, conforme explicado no início.

- A probabilidade de sucesso deve ser constante em qualquer observação feita.

- O resultado de qualquer evento é independente de qualquer outro evento.

- A média da distribuição binomial é n.p

- O desvio padrão é:

Exemplo de aplicação

Vamos pegar um evento simples, que pode obter 2 caras 5 ao lançar um dado honesto 3 vezes. Qual é a probabilidade de que em 3 jogadas 2 caras de 5 sejam obtidas?

Existem várias maneiras de conseguir isso, por exemplo:

- Os dois primeiros lançamentos são 5 e o último não.

- O primeiro e o último são 5, mas não o do meio.

- Os dois últimos lançamentos são 5 e o primeiro não.

Vamos pegar a primeira sequência descrita como exemplo e calcular sua probabilidade de ocorrência. A probabilidade de obter 5 caras no primeiro lançamento é de 1/6, e também no segundo, por serem eventos independentes.

A probabilidade de obter outra cabeça diferente de 5 no último lançamento é de 1 - 1/6 = 5/6. Portanto, a probabilidade de que essa sequência ocorra é o produto das probabilidades:

(1/6). (1/6). (5/6) = 5 / 216 = 0.023

E as outras duas sequências? Eles têm a mesma probabilidade: 0,023.

E como temos um total de 3 sequências de sucesso, a probabilidade total será:

P (2 caras 5 em 3 lançamentos) = Número de sequências possíveis x probabilidade de uma sequência particular = 3 x 0,023 = 0,069.

Agora vamos tentar o binômio, em que é feito:

x = 2 (obter 2 caras de 5 em 3 lançamentos é um sucesso)

n = 3

p = 1/6

q = 5/6

Exercícios resolvidos

Existem várias maneiras de resolver os exercícios de distribuição binomial. Como vimos, o mais simples pode ser resolvido contando quantas sequências de sucesso existem e, em seguida, multiplicando pelas respectivas probabilidades.

Porém, quando há muitas opções, os números aumentam e é preferível usar a fórmula.

E se os números forem ainda maiores, existem tabelas da distribuição binomial. No entanto, eles agora estão obsoletos em favor dos muitos tipos de calculadoras que tornam o cálculo mais fácil.

Exercício 1

Um casal tem filhos com uma probabilidade de 0,25 de ter sangue do tipo O. O casal tem um total de 5 filhos. Resposta: a) Essa situação se encaixa em uma distribuição binomial? B) Qual é a probabilidade de que exatamente 2 deles sejam do tipo O?

Solução

a) A distribuição binomial é ajustada, desde que atenda às condições estabelecidas nas seções anteriores. Existem duas opções: ter sangue do tipo O é "sucesso", enquanto não ter sangue é "fracasso", e todas as observações são independentes.

b) Temos a distribuição binomial:

x = 2 (obtenha 2 crianças com sangue tipo O)

n = 5

p = 0,25

q = 0,75

Exemplo 2

Uma universidade afirma que 80% dos alunos do time de basquete universitário se formam. Uma investigação examina o histórico escolar de 20 alunos do referido time de basquete que se inscreveram na universidade há algum tempo.

Destes 20 alunos, 11 concluíram o curso e 9 desistiram.

Se a afirmação da universidade for verdadeira, o número de alunos que jogam basquete e se formam, em 20, deve ter uma distribuição binomial com n = 20 Y p = 0,8. Qual é a probabilidade de que exatamente 11 dos 20 jogadores se formem?

Solução

Na distribuição binomial:

x = 11

n = 20

p = 0,8

q = 0,2

Exemplo 3

Os pesquisadores realizaram um estudo para determinar se havia diferenças significativas nas taxas de graduação entre estudantes de medicina admitidos em programas especiais e estudantes de medicina admitidos por critérios regulares de admissão.

A taxa de graduação encontrada foi de 94% para estudantes de medicina admitidos em programas especiais (com base em dados do Journal of the American Medical Association).

Se 10 dos alunos de programas especiais forem selecionados aleatoriamente, encontre a probabilidade de que pelo menos 9 deles tenham se formado.

b) Seria incomum selecionar aleatoriamente 10 alunos de programas especiais e descobrir que apenas 7 deles se formaram?

Solução

A probabilidade de um aluno admitido em um programa especial se formar é 94/100 = 0,94. São escolhidos n = 10 alunos de programas especiais e você deseja descobrir a probabilidade de que pelo menos 9 deles se formem.

Os seguintes valores são então substituídos na distribuição binomial:

x = 9

n = 10

p = 0,94

Referências

Berenson, M. 1985. Statistics for Management and Economics. Interamericana S.A.
MathWorks. Distribuição binomial. Recuperado de: es.mathworks.com
Mendenhall, W. 1981. Statistics for Management and Economics. 3º edição. Grupo Editorial Iberoamérica.
Moore, D. 2005. Estatísticas Básicas Aplicadas. 2ª Edição.
Triola, M. 2012. Elementary Statistics. 11º. Ed. Pearson Education.
Wikipedia. Distribuição binomial. Recuperado de: es.wikipedia.org