Teorema de existência e unicidade: prova, exemplos e exercícios - Ciência - 2023

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o Teorema de existência e unicidade estabelece as condições necessárias e suficientes para que uma equação diferencial de primeira ordem, com uma dada condição inicial, tenha solução e que essa solução seja a única.

No entanto, o teorema não fornece nenhuma técnica ou indicação de como encontrar essa solução. O teorema da existência e da unicidade também é estendido para equações diferenciais de ordem superior com condições iniciais, que é conhecido como o problema de Cauchy.

A declaração formal do teorema de existência e unicidade é a seguinte:

"Para uma equação diferencial y '(x) = f (x, y) com condição inicial y (a) = b, existe pelo menos uma solução em uma região retangular do plano XY contendo ao ponto (a, b)sim f (x, y) é contínuo naquela região. E se a derivada parcial de F em relação à Y: g = ∂f / ∂eé contínua nessa mesma região retangular, então a solução é única em uma vizinhança do ponto (a, b) conteúdo na região de continuidade de F Y g.”

A utilidade deste teorema reside primeiro em saber quais são as regiões do plano XY em que pode existir uma solução e também em saber se a solução encontrada é a única possível ou se existem outras.

Observe que, caso a condição de unicidade não seja satisfeita, o teorema não pode prever quantas soluções no total o problema de Cauchy tem: talvez seja uma, duas ou mais.

Prova da existência e teorema da unicidade

Para este teorema, são conhecidas duas provas possíveis, uma delas é a prova de Charles Émile Picard (1856-1941) e a outra é devida a Giuseppe Peano (1858-1932) com base nas obras de Augustin Louis Cauchy (1789-1857) .

Deve-se notar que as mentes matemáticas mais brilhantes do século XIX participaram da prova desse teorema, portanto, pode-se supor que nenhuma delas é simples.

Para provar formalmente o teorema, é necessário primeiro estabelecer uma série de conceitos matemáticos mais avançados, como funções do tipo Lipschitz, espaços de Banach, teorema da existência de Carathéodory e vários outros, que estão além do escopo do artigo.

Grande parte das equações diferenciais que são tratadas em física lida com funções contínuas nas regiões de interesse, portanto, nos limitaremos a mostrar como o teorema é aplicado em equações simples.

Exemplos

- Exemplo 1

Vamos considerar a seguinte equação diferencial com uma condição inicial:

y '(x) = - y; comy (1) = 3

Existe uma solução para este problema? É a única solução possível?

Respostas

Em primeiro lugar, avalia-se a existência da solução da equação diferencial e que também preenche a condição inicial.

Neste exemplof (x, y) = - y a condição de existência requer saber sef (x, y) é contínuo em uma região do plano XY que contém o ponto das coordenadas x = 1, y = 3.

Mas f (x, y) = - y é o função afim, que é contínuo no domínio dos números reais e existe em toda a gama dos números reais.

Portanto, conclui-se que f (x, y) é contínua em R², então o teorema garante a existência de pelo menos uma solução.

Sabendo disso, é necessário avaliar se a solução é única ou se, ao contrário, existe mais de uma. Para isso é necessário calcular a derivada parcial de F com respeito à variável Y:

∂f / ∂y = ∂ (-y) / ∂y = -1

entãog (x, y) = -1 que é uma função constante, que também é definida para todos os R² e também é contínuo lá. Segue-se que o teorema da existência e da unicidade garante que esse problema de valor inicial tenha uma solução única, embora não nos diga qual é.

- Exemplo 2

Considere a seguinte equação diferencial ordinária de primeira ordem com a condição inicial:

y '(x) = 2√y; y (0) = 0.

Há uma solução y (x) para este problema? Em caso afirmativo, determine se há um ou mais.

Resposta

Nós consideramos a função f (x, y) = 2√y. A função F é definido apenas paray≥0, pois sabemos que um número negativo não possui uma raiz real. Mais longef (x, y) é contínuo na metade superior do plano de R² incluindo o eixo X, então as garantias do teorema de existência e unicidade pelo menos uma solução nessa região.

Agora, a condição inicial x = 0, y = 0 está na borda da região de solução. Em seguida, tomamos a derivada parcial de f (x, y) em relação a y:

∂f/ ∂y = 1 / √y

Nesse caso, a função não é definida para y = 0, exatamente onde está a condição inicial.

O que o teorema nos diz? Isso nos diz que, embora saibamos que existe pelo menos uma solução no semiplano superior do eixo X incluindo o eixo X, como a condição de exclusividade não é atendida, não há garantia de que haverá uma solução única.

Isso significa que pode haver uma ou mais soluções na região de continuidade de f (x, y). E como sempre, o teorema não nos diz o que eles poderiam ser.

Exercícios resolvidos

- Exercício 1

Resolva o problema de Cauchy no Exemplo 1:

y '(x) = - y; comy (1) = 3.

Encontre a função y (x) que satisfaça a equação diferencial e a condição inicial.

Solução

No Exemplo 1 foi determinado que este problema tem solução e também é único. Para encontrar a solução, a primeira coisa a observar é que é uma equação diferencial de primeiro grau de variáveis separáveis, que é escrita da seguinte forma:

dy / dx = - y → dy = -y dx

Dividindo entre e em ambos os membros para separar as variáveis que temos:

dy / y = - dx

A integral indefinida é aplicada em ambos os membros:

∫ (1 / y) dy = - ∫dx

Resolvendo as integrais indefinidas, temos:

ln (y) = -x + C

onde C é uma constante de integração que é determinada pela condição inicial:

ln (3) = -1 + C, ou seja, C = 1 + ln (3)

Substituindo o valor de C e reorganizando-o permanece:

ln (y) - ln (3) = -x + 1

Aplicando a seguinte propriedade de logaritmos:

A diferença dos logaritmos é o logaritmo do quociente

A expressão acima pode ser reescrita assim:

ln (y / 3) = 1 - x

A função exponencial com base e em ambos os membros é aplicada para obter:

y / 3 = e^{(1 - x)}

O que é equivalente a:

y = 3e e^-x

Esta é a única solução da equação y ’= -y com y (1) = 3. O gráfico desta solução é mostrado na figura 1.

- Exercício 2

Encontre duas soluções para o problema apresentado no Exemplo 2:

y '(x) = 2√ (y); y (0) = 0.

Solução

É também uma equação de variáveis separáveis, que, escrita na forma diferencial, tem a seguinte aparência:

dy / √ (y) = 2 dx

Tomando a integral indefinida em ambos os membros permanece:

2 √ (y) = 2 x + C

Como você sabe disso y≥0 na região de solução, temos:

y = (x + C)²

Mas, como a condição inicial x = 0, y = 0 deve ser satisfeita, então a constante C é zero e a seguinte solução permanece:

y (x) = x².

Mas esta solução não é única, a função y (x) = 0 também é uma solução para o problema proposto. O teorema de existência e unicidade aplicado a este problema no Exemplo 2 já havia previsto que mais de uma solução poderia existir.

Referências

Coddington, Earl A.; Levinson, Norman (1955), Theory of Ordinary Differential Equations, Nova York: McGraw-Hill.
Enciclopédia de Matemática. Teorema de Cauchy-Lipschitz. Recuperado de: encyclopediaofmath.org
Lindelöf, Sur l’application de la méthode des aproximations successives aux équations différentielles ordinaires du premier ordre; Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des sciences. Vol. 116, 1894, pp. 454–457. Recuperado de: gallica.bnf.fr.
Wikipedia. Método de aproximação sucessiva de Picard. Recuperado de: es.wikipedia.com
Wikipedia. Teorema de Picard-Lindelöf. Recuperado de: es.wikipedia.com.
Zill, D. 1986. Equações diferenciais elementares com aplicações Prentice Hall.