Equações polinomiais (com exercícios resolvidos) - Ciência - 2023

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As equações polinomiais Eles são uma afirmação que representa a igualdade de duas expressões ou membros, onde pelo menos um dos termos que compõem cada lado da igualdade são polinômios P (x). Essas equações são nomeadas de acordo com o grau de suas variáveis.

Em geral, uma equação é um enunciado que estabelece a igualdade de duas expressões, onde em pelo menos uma delas existem quantidades desconhecidas, que são chamadas de variáveis ou incógnitas. Embora existam muitos tipos de equações, elas geralmente são classificadas em dois tipos: algébrica e transcendente.

As equações polinomiais contêm apenas expressões algébricas, que podem ter uma ou mais incógnitas envolvidas na equação. De acordo com o expoente (grau) que possuem, podem ser classificados em: primeiro grau (linear), segundo grau (quadrático), terceiro grau (cúbico), quarto grau (quártico), grau maior ou igual a cinco e irracional.

Caracteristicas

Equações polinomiais são expressões formadas por uma igualdade entre dois polinômios; isto é, pelas somas finitas de multiplicações entre valores que são desconhecidos (variáveis) e números fixos (coeficientes), onde as variáveis podem ter expoentes e seu valor pode ser um número inteiro positivo, incluindo zero.

Os expoentes determinam o grau ou tipo da equação. O termo da expressão que possui o maior expoente representará o grau absoluto do polinômio.

As equações polinomiais também são conhecidas como algébricas, seus coeficientes podem ser números reais ou complexos e as variáveis são números desconhecidos representados por uma letra, como: "x".

Se substituir um valor para a variável "x" em P (x), o resultado é igual a zero (0), então esse valor é considerado para satisfazer a equação (é uma solução) e é geralmente chamado de raiz do polinômio.

Ao desenvolver uma equação polinomial, você deseja encontrar todas as raízes ou soluções.

Tipos

Existem vários tipos de equações polinomiais, que se diferenciam de acordo com o número de variáveis e também de acordo com o grau de seu expoente.

Assim, as equações polinomiais - onde seu primeiro termo é um polinômio que possui uma única incógnita, considerando que seu grau pode ser qualquer número natural (n) e o segundo termo é zero -, podem ser expressas da seguinte forma:

para_{n *}xⁿ + a_{n-1 *} x^n-1+… + A_{1 *}x¹ + a_{0 *} x₀ = 0

Onde:

- para_n, para_n-1já₀, são coeficientes reais (números).

- para_né diferente de zero.

- O expoente n é um número inteiro positivo que representa o grau da equação.

- x é a variável ou desconhecida a ser pesquisada.

O grau absoluto ou maior de uma equação polinomial é o expoente com o valor mais alto entre todos aqueles que formam o polinômio; assim, as equações são classificadas como:

Primeiro grau

As equações polinomiais de primeiro grau, também conhecidas como equações lineares, são aquelas em que o grau (o maior expoente) é igual a 1, o polinômio tem a forma P (x) = 0; y é composto por um termo linear e outro independente. Está escrito da seguinte forma:

ax + b = 0.

Onde:

- a e b são números reais e a ≠ 0.

- machado é o termo linear.

- b é o termo independente.

Por exemplo, a equação 13x - 18 = 4x.

Para resolver equações lineares, todos os termos que contêm o x desconhecido devem ser passados para um lado da igualdade, e os que não o possuem passam para o outro lado, a fim de resolvê-lo e obter uma solução:

13x - 18 = 4x

13x = 4x + 18

13x - 4x = 18

9x = 18

x = 18 ÷ 9

x = 2.

Assim, a equação dada tem apenas uma solução ou raiz, que é x = 2.

Segundo grau

As equações polinomiais de segundo grau, também conhecidas como equações quadráticas, são aquelas em que o grau (o maior expoente) é igual a 2, o polinômio tem a forma P (x) = 0 e é composto por um termo quadrático , um linear e um independente. É expresso da seguinte forma:

machado² + bx + c = 0.

Onde:

- a, bec são números reais e a ≠ 0.

- machado² é o termo quadrático e "a" é o coeficiente do termo quadrático.

- bx é o termo linear e "b" é o coeficiente do termo linear.

- c é o termo independente.

Solvente

Geralmente, a solução para este tipo de equação é dada limpando x da equação, e é a seguinte, que é chamada de resolvente:

Lá, (b² - 4ac) é chamado de discriminante da equação e esta expressão determina o número de soluções que a equação pode ter:

- Sim B² - 4ac) = 0, a equação terá uma única solução que é dupla; ou seja, terá duas soluções iguais.

- Sim B² - 4ac)> 0, a equação terá duas soluções reais diferentes.

- Sim B² - 4ac) <0, a equação não tem solução (terá duas soluções complexas diferentes).

Por exemplo, temos a equação 4x² + 10x - 6 = 0, para resolver primeiro identifique os termos a, b e c, e depois substitua na fórmula:

a = 4

b = 10

c = -6.

Existem casos em que as equações polinomiais de segundo grau não possuem todos os três termos, e é por isso que são resolvidas de forma diferente:

- No caso de as equações quadráticas não possuírem o termo linear (ou seja, b = 0), a equação será expressa como ax² + c = 0. Para resolver, resolva para x² e as raízes quadradas são aplicadas a cada membro, lembrando que devem ser considerados os dois possíveis sinais que o desconhecido pode ter:

machado² + c = 0.

x² = - c ÷ a

Por exemplo, 5 x² – 20 = 0.

5 x² = 20

x²= 20 ÷ 5

x = ± √4

x = ± 2

x₁ = 2.

x₂ = -2.

- Quando a equação quadrática não possui um termo independente (ou seja, c = 0), a equação será expressa como ax² + bx = 0. Para resolvê-lo, devemos tomar o fator comum da incógnita x no primeiro membro; Como a equação é igual a zero, é verdade que pelo menos um dos fatores será igual a 0:

machado² + bx = 0.

x (ax + b) = 0.

Assim, você deve:

x = 0.

x = -b ÷ a.

Por exemplo: temos a equação 5x² + 30x = 0. Primeiro fator:

5x² + 30x = 0

x (5x + 30) = 0.

Dois fatores são gerados, que são x e (5x + 30). Considera-se que um deles será igual a zero e o outro está resolvido:

x₁ = 0.

5x + 30 = 0

5x = -30

x = -30 ÷ 5

x₂ = -6.

Mais alto grau

As equações polinomiais de grau superior são aquelas que vão do terceiro grau em diante, podendo ser expressas ou resolvidas com a equação polinomial geral para qualquer grau:

para_{n *}xⁿ + a_{n-1 *} x^n-1+… + A_{1 *}x¹ + a_{0 *} x₀ = 0

Isso é usado porque uma equação com um grau maior que dois é o resultado da fatoração de um polinômio; isto é, é expresso como a multiplicação de polinômios de grau um ou maior, mas sem raízes reais.

A solução deste tipo de equações é direta, pois a multiplicação de dois fatores será igual a zero se algum dos fatores for nulo (0); portanto, cada uma das equações polinomiais encontradas deve ser resolvida, colocando cada um de seus fatores igual a zero.

Por exemplo, temos a equação do terceiro grau (cúbica) x³ + x² + 4x + 4 = 0. Para resolvê-lo, devem ser seguidos os seguintes passos:

- Os termos são agrupados:

x³ + x² + 4x + 4 = 0

(x³ + x² ) + (4x + 4) = 0.

- Os membros são decompostos para obter o fator comum do desconhecido:

x² (x + 1) + 4 (x + 1) = 0

(x² + 4)_*(x + 1) = 0.

- Desta forma, obtêm-se dois fatores, que devem ser iguais a zero:

(x² + 4) = 0

(x + 1) = 0.

- Percebe-se que o fator (x² + 4) = 0 não terá solução real, enquanto o fator (x + 1) = 0 terá. Portanto, a solução é:

(x + 1) = 0

x = -1.

Exercícios resolvidos

Resolva as seguintes equações:

Primeiro exercício

(2x² + 5)_*(x - 3)_*(1 + x) = 0.

Solução

Nesse caso, a equação é expressa como a multiplicação de polinômios; ou seja, é fatorado. Para resolvê-lo, cada fator deve ser igual a zero:

- 2x² + 5 = 0, não tem solução.

- x - 3 = 0

- x = 3.

- 1 + x = 0

- x = - 1.

Assim, a equação dada tem duas soluções: x = 3 e x = -1.

Segundo exercício

x⁴ – 36 = 0.

Solução

Um polinômio foi fornecido, que pode ser reescrito como uma diferença de quadrados para chegar a uma solução mais rápida. Assim, a equação é:

(x² + 6)_*(x² – 6) = 0.

Para encontrar a solução para as equações, ambos os fatores são definidos como iguais a zero:

(x² + 6) = 0, não tem solução.

(x² – 6) = 0

x² = 6

x = ± √6.

Assim, a equação inicial possui duas soluções:

x = √6.

x = - √6.

Referências

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Massara, N. C.-L. (novecentos e noventa e cinco). Matemática 3.