Teorema fundamental da aritmética: prova, aplicações, exercícios - Ciência - 2023

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o O teorema fundamental da aritmética afirma que qualquer número natural maior que 1 pode ser decomposto como um produto de números primos - alguns podem ser repetidos - e esta forma é única para aquele número, embora a ordem dos fatores possa ser diferente.

Lembre-se de que um número primo p É aquele que só se admite como divisores positivos a si mesmo e a 1. Os seguintes números são primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13 e assim por diante, pois são infinitos. O número 1 não é considerado primo, pois possui um único divisor.

Por sua vez, os números que não cumpram com o anterior são chamados números compostos, como 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14 ... Vamos pegar o número 10 por exemplo e imediatamente vemos que ele pode ser decomposto como um produto de 2 e 5:

10 = 2 × 5

Ambos 2 e 5 são, efetivamente, números primos. O teorema afirma que isso é possível para qualquer número n:

Onde p₁, p₂, p₃... p_r são números primos ek₁, k₂, k₃, ... k_r eles são números naturais. Assim, os números primos atuam como os blocos de construção a partir dos quais, por meio da multiplicação, os números naturais são construídos.

Prova do teorema fundamental da aritmética

Começamos mostrando que todo número pode ser decomposto em fatores primos. Let Ser um número natural n> 1, primo ou composto.

Por exemplo, se n = 2, pode ser expresso como: 2 = 1 × 2, que é primo. Da mesma forma, proceda com os seguintes números:

3 = 1 × 3

4 = 2 × 2

5 = 1 × 5

6 = 2 × 3

7 = 1 × 7

8 = 2 × 2 × 2

Continuamos assim, decompondo todos os números naturais até chegarmos ao número n -1. Vamos ver se podemos fazer isso com o seguinte número: n.

Se n é primo, podemos decompor n = 1 × n, mas suponha que n seja composto e tenha um divisor d, logicamente menor que n:

1 <d <n.

Se n / d = p₁, com P₁ um número primo, então n é escrito como:

n = p₁.d

Se d é primo, não há mais o que fazer, mas se não for, há um número n₂ que é um divisor de d e menor que este: n₂ <d, então d pode ser escrito como o produto de n₂ por outro número primo p₂:

d = p₂ n₂

Que ao substituir no número original n daria:

n = p₁ .p₂ .n₂

Agora suponha que n₂nem é um número primo e o escrevemos como o produto de um número primo p₃, por um divisor de seu n₃, de modo que n₃ <n₂ <n₁ <n:

n₂ = p₃.n₃ → n = p₁ p₂ p₃.n₃

Repetimos este procedimento um número finito de vezes até obter:

n = p₁.p₂.p₃... p_r

Isso significa que é possível decompor todo mundo números inteiros de 2 a n, como um produto de números primos.

Singularidade da fatoração principal

Vamos agora verificar que exceto pela ordem dos fatores, esta decomposição é única. Suponha que n possa ser escrito de duas maneiras:

n = p₁.p₂.p₃... p_r = q_1.o que₂.q₃… ..Q_s (com r ≤ s)

Claro que₁, o que₂, o que₃... também são números primos. Como p₁divide (q_1.o que₂.q₃… ..Q_s) Então p₁ é igual a qualquer um dos "q", não importapara o qual, então podemos dizer que p₁ = q₁. Dividimos n por p₁ e obtemos:

p₂.p₃... p_r =_.o que₂.q₃… ..Q_s

Repetimos o procedimento até dividir tudo por p_r, então temos:

1 = q_{r + 1} ... o que_s

Mas não é possível alcançar o que_{r + 1} ... o que_s = 1 quando r <s, somente se r = s. Embora admitindo que r = s, também se admite que o "p" e o "q" são iguais. Portanto, a decomposição é única.

Formulários

Como dissemos antes, os números primos representam, se quisermos, os átomos dos números, seus componentes básicos. Portanto, o teorema fundamental da aritmética tem inúmeras aplicações, a mais óbvia: podemos trabalhar com números grandes mais facilmente se os expressarmos como o produto de números menores.

Da mesma forma, podemos encontrar o maior múltiplo comum (LCM) e o máximo divisor comum (GCF), um procedimento que nos ajuda a fazer somas de frações mais facilmente, encontrar raízes de grandes números, ou operar com radicais, racionalizar e resolver problemas de aplicação de natureza muito diversa.

Além disso, os números primos são extremamente enigmáticos. Um padrão ainda não foi reconhecido neles e não é possível saber qual será o próximo. O maior até agora foi encontrado por computadores e tem 24.862.048dígitos, embora os novos números primos apareçam com menos frequência a cada vez.

Números primos na natureza

As cigarras, cicádidos ou cigarras que vivem no nordeste dos Estados Unidos surgem em ciclos de 13 ou 17 anos. Ambos são números primos.

Desta forma, as cigarras evitam coincidir com predadores ou competidores que tenham outras épocas de nascimento, nem as diferentes variedades de cigarras competem entre si, uma vez que não coincidem no mesmo ano.

Números primos e compras online

Os números primos são usados na criptografia para manter em segredo os detalhes do cartão de crédito ao fazer compras pela Internet. Desta forma, os dados de que o comprador chega à loja justamente sem se perder ou cair nas mãos de pessoas sem escrúpulos.

Como? Os dados nos cartões são codificados em um número N que pode ser expresso como o produto de números primos. Esses números primos são a chave que os dados revelam, mas são desconhecidos do público, só podem ser decodificados na web para a qual são direcionados.

Decompor um número em fatores é uma tarefa fácil se os números forem pequenos (veja os exercícios resolvidos), mas neste caso números primos de 100 dígitos são usados como chave, que ao multiplicá-los dão números muito maiores, cuja decomposição detalhada envolve uma tarefa enorme .

Exercícios resolvidos

- Exercício 1

Divida 1029 em fatores primos.

Solução

1029 é divisível por 3. É conhecido porque ao somar seus dígitos a soma é um múltiplo de 3: 1 + 0 + 2 + 9 = 12. Como a ordem dos fatores não altera o produto, podemos começar por aí:

1029 3

343

1029 = 3 × 343

Por outro lado, 343 = 7³, tão:

1029 = 3 × 7³ = 3 × 7 × 7× 7

E uma vez que 3 e 7 são números primos, esta é a decomposição de 1029.

- Exercício 2

Fatore o trinômio x² + 42x + 432.

Solução

O trinômio é reescrito na forma (x + a). (x + b) e precisamos encontrar os valores de a e b, de modo que:

a + b = 42; a.b = 432

O número 432 é decomposto em fatores primos e, a partir daí, a combinação apropriada é escolhida por tentativa e erro de modo que os fatores adicionados forneçam 42.

432 = 2⁴× 3³ = 2× 3³× 2³ = 2⁴× 3² × 3 =…

A partir daqui, existem várias possibilidades para escrever 432:

432 = 16 ×27 = 24 × 18 = 54 × 8 = 6 × 72….

E todos eles podem ser encontrados combinando produtos entre os fatores primos, mas para resolver o exercício proposto, a única combinação adequada é: 432 = 24 × 18 uma vez que 24 + 18 = 42, então:

x² + 42x + 432 = (x + 24). (x +18)

Referências

Baldor, A. 1986. Aritmética prática teórica. Compañía Cultural Editora de Textos Americanos S.A.
BBC World. O Código Oculto da Natureza. Recuperado de: bbc.com.
De Leon, Manuel Prime Numbers: The Guardians of the Internet. Recuperado de: blogs.20minutos.es.
UNAM. Teoria dos Números I: Teorema Fundamental da Aritmética. Recuperado de: teoriadenumeros.wikidot.com.
Wikipedia. O teorema fundamental da aritmética. Recuperado de: es.wikipedia.org.