Erro aleatório: fórmula e equações, cálculo, exemplos, exercícios - Ciência - 2023

Contente

• Fórmulas e equações com erro aleatório
• Valor médio e desvio padrão
• Desvio padrão
• Como calcular o erro aleatório?
• Exemplos de erro aleatório
• Medir o comprimento com uma fita métrica ou régua
• A velocidade do vento
• Ao ler o volume em um cilindro graduado
• Ao medir a altura de uma criança
• Ao usar a balança de banheiro
• Exercício resolvido
• Solução
• Hora de descida
• Referências

oerro aleatório de uma quantidade física consiste nas variações imprevisíveis da medida dessa quantidade. Essas variações podem ser produzidas pelo fenômeno que está sendo medido, pelo instrumento de medição ou pelo próprio observador.

Esse erro não é devido a algo que foi feito de forma errada durante o experimento, mas é um erro inerente ao processo de medição ou ao fenômeno em estudo. Isso faz com que a quantidade medida seja às vezes um pouco maior e às vezes um pouco menor, mas geralmente oscila em torno de um valor central.

Ao contrário do erro aleatório, o erro sistemático pode ser causado por uma calibração ruim ou um fator de escala inadequado no instrumento de medição, até mesmo uma falha no equipamento experimental, ou uma observação inadequada, que provoca um desvio na mesma direção.

A Figura 1 ilustra a diferença entre o erro sistemático e o aleatório no jogo de lançamento de dardos em um alvo com círculos.

No caso da esquerda, os dardos estão concentrados em torno de um ponto distante do centro. O lançador destes dardos, embora de boa pontaria, apresenta uma falha sistemática, talvez de origem visual, ou na forma de lançamento.

Por outro lado, o lançador da direita (na figura 1) tem uma grande dispersão em torno do alvo central, portanto é um lançador muito impreciso, com má mira, que involuntariamente comete um erro aleatório.

Fórmulas e equações com erro aleatório

Quando é observado erro aleatório no processo de medição, é necessário repetir a medição várias vezes, pois do ponto de vista estatístico, quanto maior o número de medições, menor o erro na estimativa final da medição.

É claro que em cada medição é necessário cuidar para que as condições em que são realizadas sejam sempre as mesmas.

Suponha que a medição seja repetida n vezes. Como existe um erro aleatório em cada medição, ele terá um valor ligeiramente diferente. Suponha que o conjunto de n medições é:

{x₁, x₂, x₃,… .., x_n }

Então, qual valor relatar para a medida?

Valor médio e desvio padrão

o valor médio ou média do conjunto de medidas, que denotamos por e é calculado da seguinte forma:

= (x₁ + x₂ + x₃ + …… + x_n) / n

Desvio padrão

No entanto, esse resultado possui uma margem de erro dada pelo desvio padrão. Para defini-lo, você deve primeiro saber o desvio e depois a variância:

-Desvio d_Eu o que cada valor medido tem XI com respeito ao valor médio isto é:

d_Eu = x_Eu –

Se a média dos desvios fosse calculada, ela seria obtida sistematicamente =0, já que:

= (d₁ + d₂ + d₃ + …… + d_n) / n =

= [(x₁ – ) + (x₂ – ) +… + (X_n – )] / n

= (x₁+ x₂ +… + X_n) / n - n / n = – = 0

-A média dos desvios não é útil para saber a dispersão das medidas. Por outro lado, o valor médio do quadrado dos desvios ou variância, denotado por σ², sim é.

É calculado de acordo com a seguinte fórmula:

σ² = (d₁² + d₂² +…. + D_n² ) / (n -1)

Nas estatísticas, essa quantidade é chamada variância.  

E a raiz quadrada da variância é conhecida como desvio padrão σ:

σ = √ [(d₁² + d₂² +…. + D_n² ) / (n -1)]

O desvio padrão σ nos diz que:

1.- 68% das medições realizadas caem dentro do intervalo [ – σ , + σ]. 

2.- 95% das medições estão no intervalo [ – 2σ , + 2σ].

3.- 99,7% das medições realizadas estão na faixa [ – 3σ , + 3σ].

Como calcular o erro aleatório?

O resultado da medição é o valor médio das n medições denotadas por e é calculado de acordo com a seguinte fórmula:

= (∑x_Eu) / n

Porém Não é o valor “exato” da medição, uma vez que é afetado por erro aleatório ε,que é calculado assim:

ε = σ / √n

Onde:

σ = √ [(∑ (xi - )² ) / (n -1)]

O resultado final da medição deve ser relatado de uma das seguintes maneiras:

1. ± σ / √n = ± ε com um nível de confiança de 68%.
2. ± 2σ / √n = ± 2ε com um nível de confiança de 95%.
3. ± 3σ / √n = ± 3ε com um nível de confiança de 99,7%.

O erro aleatório afeta o último algarismo significativo da medição, que geralmente coincide com a avaliação do instrumento de medição. No entanto, se o erro aleatório for muito grande, os dois últimos dígitos significativos podem ser afetados pela variação.

Exemplos de erro aleatório

Erros aleatórios podem aparecer em vários casos em que uma medição é realizada:

Medir o comprimento com uma fita métrica ou régua

Quando um comprimento é medido com uma régua ou fita métrica e as leituras ficam entre as marcas na escala, esse valor intermediário é estimado.

Às vezes, a estimativa tem um excesso e às vezes um defeito, de modo que o erro aleatório está sendo introduzido no processo de medição.

A velocidade do vento

Ao medir a velocidade do vento, pode haver mudanças na leitura de um instante para outro, devido à natureza mutante do fenômeno.

Ao ler o volume em um cilindro graduado

Quando o volume é lido com um cilindro graduado, mesmo tentando minimizar o erro de paralaxe, cada vez que é medido, o ângulo de observação do menisco muda um pouco, razão pela qual as medidas são afetadas pelo erro aleatório.

Ao medir a altura de uma criança

Ao medir a altura de uma criança, especialmente se ela estiver um pouco inquieta, faça pequenas mudanças na postura para alterar levemente a leitura.

Ao usar a balança de banheiro

Quando queremos medir nosso peso com uma balança de banheiro, uma pequena mudança no fulcro, até mesmo uma mudança na postura pode afetar aleatoriamente a medição.

Exercício resolvido

Um carrinho de brinquedo pode rolar por uma pista reta e inclinada e o tempo que leva para percorrer toda a pista é medido com um cronômetro.

A medição é realizada 11 vezes, com o cuidado de sempre soltar o carrinho do mesmo local, sem dar nenhum impulso e mantendo a inclinação fixa.

O conjunto de resultados obtidos é:

{3.12s 3.09s 3.04s 3.04s 3.10s 3.08s 3.05s 3.10s 3.11s 3.06s, 3.03s}

Qual é o erro aleatório das medições?

Solução

Como você pode ver, os resultados obtidos não são únicos e variam ligeiramente.

A primeira coisa é calcular o valor médio do tempo de descida, obtendo 3,074545455 segundos.

Não faz sentido manter tantos decimais, pois cada medição possui três algarismos significativos e a segunda casa decimal de cada medição é incerta, pois está no limite de valorização do cronômetro, portanto o resultado é arredondado para duas casas decimais:

= 3,08 s.

Com a calculadora no modo estatístico, o desvio padrão éσ = 0,03 s e o erro padrão é σ / √11 = 0,01 s. O resultado final é expresso assim:

Hora de descida

3,08 s ± 0,01 s (com um nível de confiança de 68%)

3,08 s ± 0,02 s (com um nível de confiança de 95%)

3,08 s ± 0,03 s (com um nível de confiança de 99,7%)

Referências

1. Canavos, G. 1988. Probabilidade e Estatística: Aplicações e métodos. McGraw Hill.
2. Devore, J. 2012. Probability and Statistics for Engineering and Science. 8º. Edição. Cengage.
3. Helmenstine A. Erro aleatório vs. erro sistemático. Recuperado de: Thoughtco.com
4. Laredo, E. Erros na mídia. Recuperado de: usb.ve.
5. Levin, R. 1988. Statistics for Administrators. 2ª Edição. Prentice Hall.