Álgebra vetorial: fundamentos, magnitudes, vetores - Ciência - 2023

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o álgebra vetorial é um ramo da matemática encarregado de estudar sistemas de equações lineares, vetores, matrizes, espaços vetoriais e suas transformações lineares. Está relacionado a áreas como engenharia, resolução de equações diferenciais, análise funcional, pesquisa operacional, computação gráfica, entre outras.

Outra área que a álgebra linear tem adotado é a física, pois por meio dela tem sido possível desenvolver o estudo dos fenômenos físicos, descrevendo-os por meio do uso de vetores. Isso possibilitou uma melhor compreensão do universo.

Fundamentos

A álgebra vetorial originou-se do estudo dos quatérnions (extensão dos números reais) 1, i, j e k, bem como da geometria cartesiana promovida por Gibbs e Heaviside, que perceberam que os vetores serviriam de instrumento para representam vários fenômenos físicos.


A álgebra vetorial é estudada por meio de três fundamentos:

Geometricamente

Os vetores são representados por linhas que possuem uma orientação, e operações como adição, subtração e multiplicação por números reais são definidas por métodos geométricos.

Analiticamente

A descrição dos vetores e suas operações é feita com números, chamados de componentes. Este tipo de descrição é o resultado de uma representação geométrica porque um sistema de coordenadas é usado.

Axiomaticamente

É feita uma descrição dos vetores, independente do sistema de coordenadas ou qualquer tipo de representação geométrica.

O estudo das figuras no espaço é feito por meio de sua representação em um sistema de referência, que pode ser em uma ou mais dimensões. Entre os principais sistemas estão:

- Sistema unidimensional, que é uma linha onde um ponto (O) representa a origem e outro ponto (P) determina a escala (comprimento) e sua direção:


- Sistema de coordenadas retangulares (bidimensional), que é composto por duas retas perpendiculares denominadas eixo xey, que passam por uma origem de ponto (O); desta forma, o plano é dividido em quatro regiões chamadas quadrantes. Neste caso, um ponto (P) no plano é dado pelas distâncias que existem entre os eixos e P.

- Sistema de coordenadas polares (bidimensional). Neste caso, o sistema é composto por um ponto O (origem) que é denominado pólo e um raio com origem em O denominado eixo polar. Neste caso, o ponto P do plano, com referência ao pólo e ao eixo polar, é dado pelo ângulo (Ɵ), que é formado pela distância entre a origem e o ponto P.


- Sistema tridimensional retangular, formado por três retas perpendiculares (x, y, z) cuja origem é um ponto O no espaço. Três planos de coordenadas são formados: xy, xz e yz; o espaço será dividido em oito regiões chamadas octantes. A referência de um ponto P no espaço é dada pelas distâncias que existem entre os planos e P.

Magnitudes

Uma magnitude é uma quantidade física que pode ser contada ou medida por meio de um valor numérico, como no caso de alguns fenômenos físicos; entretanto, muitas vezes é necessário ser capaz de descrever esses fenômenos com outros fatores além dos numéricos. É por isso que as magnitudes são classificadas em dois tipos:

Magnitude escalar

São aquelas quantidades definidas e representadas numericamente; isto é, por um módulo junto com uma unidade de medida. Por exemplo:

a) Tempo: 5 segundos.

b) Massa: 10 kg.

c) Volume: 40 ml.

d) Temperatura: 40 ºC.

Magnitude do vetor

São aquelas quantidades que são definidas e representadas por um módulo junto com uma unidade, bem como por um sentido e direção. Por exemplo:

a) Velocidade: (5ȋ - 3ĵ) m / s.

b) Aceleração: 13 m / s2; S 45º E.

c) Força: 280 N, 120º.

d) Peso: -40 ĵ kg-f.

As quantidades vetoriais são representadas graficamente por vetores.

O que são vetores?

Os vetores são representações gráficas de uma quantidade vetorial; isto é, são segmentos de linha em que sua extremidade final é a ponta de uma flecha.

Estas são determinadas por seu módulo ou comprimento do segmento, sua direção que é indicada pela ponta de sua seta e sua direção de acordo com a linha a que pertence. A origem de um vetor também é conhecida como ponto de aplicação.

Os elementos de um vetor são os seguintes:

Módulo

É a distância da origem ao final de um vetor, representada por um número real junto com uma unidade. Por exemplo:

| OM | = | A | = A = 6 cm

Endereço

É a medida do ângulo que existe entre o eixo x (do positivo) e o vetor, assim como os pontos cardeais (norte, sul, leste e oeste) são usados.

Sentido

É dado pela ponta de seta localizada no final do vetor, indicando para onde está indo.

Classificação de vetores

Geralmente, os vetores são classificados como:

Vetor fixo

É aquele cujo ponto de aplicação (origem) é fixo; ou seja, ele permanece vinculado a um ponto no espaço, portanto, não pode se mover nele.

Vetor livre

Ele pode se mover livremente no espaço porque sua origem se move para qualquer ponto sem alterar seu módulo, direção ou direção.

Vetor deslizante

É aquele que pode mover sua origem ao longo de sua linha de ação sem alterar seu módulo, direção ou direção.

Propriedades dos vetores

Entre as principais propriedades dos vetores estão as seguintes:

Lentes de equipe de vetores

Eles são aqueles vetores livres que têm o mesmo módulo, direção (ou são paralelos) e sentido como um vetor deslizante ou um vetor fixo.

Vetores equivalentes

Ocorre quando dois vetores têm a mesma direção (ou são paralelos), o mesmo sentido, e apesar de possuírem módulos e pontos de aplicação diferentes, causam os mesmos efeitos.

Igualdade vetorial

Eles têm o mesmo módulo, direção e sentido, mesmo quando seus pontos de partida são diferentes, o que permite que um vetor paralelo se traduza sem afetá-lo.

Vetores opostos

São aqueles que possuem o mesmo módulo e direção, mas seu significado é oposto.

Vetor unitário

É aquele em que o módulo é igual à unidade (1). Este é obtido dividindo o vetor pelo seu módulo e é usado para determinar a direção e o sentido de um vetor, seja no plano ou no espaço, usando os vetores unitários base ou normalizados, que são:

Vetor nulo

É aquele cujo módulo é igual a 0; isto é, seu ponto de origem e fim coincidem no mesmo ponto.

Componentes de um vetor

Os componentes de um vetor são os valores das projeções do vetor nos eixos do sistema de referência; Dependendo da decomposição do vetor, que pode ser em eixos bidimensionais ou tridimensionais, serão obtidos dois ou três componentes, respectivamente.

Os componentes de um vetor são números reais, que podem ser positivos, negativos ou até zero (0).

Assim, se tivermos um vetor Ā, com origem em um sistema de coordenadas retangulares no plano xy (bidimensional), a projeção no eixo x é Āx e a projeção no eixo y é Āy. Assim, o vetor será expresso como a soma de seus vetores componentes.

Exemplos

Primeiro exemplo

Temos um vetor Ā que começa na origem e as coordenadas de seus finais são dadas. Assim, o vetor Ā = (Āx; PARAY) = (4; 5) cm.

Se o vetor Ā atua na origem de um sistema de coordenadas triangulares tridimensionais (no espaço) x, y, z, até outro ponto (P), as projeções em seus eixos serão Āx, Āy e Āz; assim, o vetor será expresso como a soma de seus três vetores componentes.

Segundo exemplo

Temos um vetor Ā que começa na origem e as coordenadas de seus finais são dadas. Assim, o vetor Ā = (Ax; PARAY; PARAz) = (4; 6; -3) cm.

Os vetores que têm suas coordenadas retangulares podem ser expressos em termos de seus vetores base. Para isso, basta multiplicar cada coordenada pelo seu respectivo vetor unitário, de forma que para o plano e o espaço sejam os seguintes:

Para o avião: Ā = Axi + AYj.

Para espaço: Ā = Axi + AYj + Azk.

Operações vetoriais

São muitas as grandezas que possuem módulo, direção e direção, como aceleração, velocidade, deslocamento, força, entre outras.

Estes são aplicados em várias áreas da ciência, e para aplicá-los é necessário, em alguns casos, realizar operações como adição, subtração, multiplicação e divisão de vetores e escalares.

adição e subtração de vetores

A adição e subtração de vetores é considerada uma única operação algébrica porque a subtração pode ser escrita como uma soma; por exemplo, a subtração dos vetores Ā e Ē pode ser expressa como:

Ā – Ē = Ā + (-Ē)

Existem diferentes métodos para realizar a adição e subtração de vetores: eles podem ser gráficos ou analíticos.

Métodos gráficos

Usado quando um vetor possui um módulo, sentido e direção. Para isso, são traçadas linhas que formam uma figura que posteriormente ajudam a determinar o resultado. Entre os mais conhecidos estão os seguintes:

Método de paralelogramo

Para fazer a adição ou subtração de dois vetores, é escolhido um ponto comum no eixo de coordenadas -que representará o ponto de origem dos vetores-, mantendo seu módulo, direção e direção.

As linhas são então desenhadas paralelas aos vetores para formar um paralelogramo. O vetor resultante é a diagonal que vai do ponto de origem de ambos os vetores até o vértice do paralelogramo:

Método Triângulo

Neste método os vetores são colocados um após o outro, mantendo seus módulos, direções e direções. O vetor resultante será a união da origem do primeiro vetor com o final do segundo vetor:

Métodos analíticos

Dois ou mais vetores podem ser adicionados ou subtraídos por meio de um método geométrico ou vetorial:

Método geométrico

Quando dois vetores formam um triângulo ou paralelogramo, o módulo e a direção do vetor resultante podem ser determinados usando as leis do seno e do cosseno. Assim, o módulo do vetor resultante, aplicando a lei do cosseno e pelo método do triângulo, é dado por:

Nesta fórmula β é o ângulo oposto ao lado R, e este é igual a 180º - Ɵ.

Em vez disso, pelo método do paralelogramo, o módulo do vetor resultante é:

A direção do vetor resultante é dada pelo ângulo (α), que forma a resultante com um dos vetores.

Pela lei do seno, a adição ou subtração de vetores também pode ser feita pelo método do triângulo ou paralelogramo, sabendo que em cada triângulo os lados são proporcionais aos senos dos ângulos opostos:

Método vetorial

Isso pode ser feito de duas maneiras: dependendo de suas coordenadas retangulares ou de seus vetores de base.

Isso pode ser feito transladando os vetores a serem adicionados ou subtraídos em direção à origem das coordenadas e, em seguida, decompor em seus componentes retangulares todas as projeções em cada um dos eixos para o plano (x, y) ou espaço (x, e Z); finalmente, seus componentes são adicionados algebricamente. Então, para o avião é:

O módulo do vetor resultante é:

Enquanto para o espaço é:

O módulo do vetor resultante é:

Quando somas vetoriais são realizadas, várias propriedades são aplicadas, que são:

- Propriedade associativa: a resultante não muda ao adicionar dois vetores primeiro e depois adicionar um terceiro vetor.

- Propriedade comutativa: a ordem dos vetores não altera a resultante.

- Propriedade distributiva do vetor: se um escalar é multiplicado pela soma de dois vetores, é igual à multiplicação do escalar para cada vetor.

- Propriedade distributiva escalar: se um vetor é multiplicado pela soma de dois escalares, é igual à multiplicação do vetor para cada escalar.

Multiplicação de vetores

A multiplicação ou produto de vetores poderia ser feito como adição ou subtração, mas fazer dessa forma perde o significado físico e quase nunca é encontrado nos aplicativos. Por esse motivo, os tipos de produtos mais comumente usados ​​são os produtos escalares e vetoriais.

Produto escalar

Também é conhecido como produto escalar de dois vetores. Quando os módulos de dois vetores são multiplicados pelo cosseno do menor ângulo formado entre eles, um escalar é obtido. Para expressar um produto escalar entre dois vetores, um ponto é colocado entre eles, e isso pode ser definido como:

O valor do ângulo que existe entre os dois vetores dependerá se eles são paralelos ou perpendiculares; assim, você tem que:

- Se os vetores são paralelos e têm o mesmo sentido, cosseno 0º = 1.

- Se os vetores são paralelos e têm direções opostas, cosseno 180º = -1.

- Se os vetores forem perpendiculares, cosseno 90º = 0.

Esse ângulo também pode ser calculado sabendo que:

O produto escalar tem as seguintes propriedades:

- Propriedade comutativa: a ordem dos vetores não altera o escalar.

-Propriedade distributiva: se um escalar é multiplicado pela soma de dois vetores, é igual à multiplicação do escalar para cada vetor.

Produto vetorial

A multiplicação do vetor, ou produto cruzado de dois vetores A e B, resultará em um novo vetor C e é expresso usando um cruzamento entre os vetores:

O novo vetor terá características próprias. Assim:

- A direção: este novo vetor será perpendicular ao plano, que é determinado pelos vetores originais.

- A direção: é determinada com a regra da mão direita, onde o vetor A é virado para B, indicando a direção de rotação com os dedos, e a direção do vetor é marcada com o polegar.

- O módulo: é determinado pela multiplicação dos módulos dos vetores AxB, pelo seno do menor ângulo que existe entre esses vetores. É expresso:

O valor do ângulo que existe entre os dois vetores dependerá se eles são paralelos ou perpendiculares. Portanto, é possível afirmar o seguinte:

- Se os vetores são paralelos e têm o mesmo sentido, seno 0º = 0.

- Se os vetores são paralelos e têm direções opostas, seno 180º = 0.

- Se os vetores são perpendiculares, seno 90º = 1.

Quando um produto vetorial é expresso em termos de seus vetores de base, segue-se que:

O produto escalar tem as seguintes propriedades:

- Não é comutativo: a ordem dos vetores altera o escalar.

- Propriedade distributiva: se um escalar é multiplicado pela soma de dois vetores, é igual à multiplicação do escalar para cada vetor.

Referências

  1. Altman Naomi, M. K. (2015). "Regressão Linear Simples." Métodos da natureza.
  2. Angel, A. R. (2007). Álgebra elementar. Pearson Education,.
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  5. Lay, D. C. (2007). Álgebra linear e suas aplicações. Pearson Education.
  6. Llinares, J. F. (2009). Álgebra linear: espaço vetorial. Espaço vetorial euclidiano. Universidade de Alicante.
  7. Mora, J. F. (2014). Álgebra Linear. Pátria.