Momento angular: quantidade, conservação, exemplos, exercícios - Ciência - 2023

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Momento angular: quantidade, conservação, exemplos, exercícios - Ciência
Momento angular: quantidade, conservação, exemplos, exercícios - Ciência

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o momento angular ou momento angular é, para o movimento rotacional, o que o momento linear é para o movimento translacional. É uma grandeza vetorial que caracteriza a rotação de uma partícula pontual ou de um objeto estendido em torno de um eixo que passa por um ponto.

Isso significa que sempre que o momento angular deve ser calculado, o eixo de rotação deve ser especificado de acordo.

Começando com um ponto material de massa m, o momento angular é denotado por EU, momento linear como p e a posição da partícula em relação a um eixo que passa por um certo ponto O é r, tão:

eu = r x p

As letras em negrito são reservadas para magnitudes vetoriais e a cruz significa que o momento angular é o produto vetorial entre o vetor posição r e o momento linear p da partícula. O vetor que resulta de um produto vetorial é perpendicular ao plano formado pelos vetores participantes.


Isso significa que a direção e o sentido de eu eles podem ser encontrados pela regra da mão direita para o produto vetorial.

No Sistema Internacional de Unidades SI, as unidades de momento angular são kg⋅m2/ s, que não têm um nome especial. E para um corpo estendido, que é composto de muitas partículas, a definição acima é convenientemente estendida.

Quantidade de movimento angular

A magnitude do vetor momento angular está de acordo com a definição do produto vetorial:

L = r⋅m⋅v⋅sen ϕ = mv (r⋅sen ϕ) = mvℓ

Onde ϕ é o ângulo entre os vetores r Y v. Então ℓ = r sen ϕ é a distância perpendicular entre a linha de v e ponto O.

Para o caso da partícula que se move descrevendo a circunferência mostrada na imagem superior, esse ângulo é de 90º, pois a velocidade é sempre tangente à circunferência e, portanto, perpendicular ao raio.


Portanto sen 90º = 1 e a magnitude de eu isto é:

L = m⋅r⋅v

Momento de inércia

O momento de inércia de um corpo rígido descreve a inércia do corpo contra a rotação em torno de um determinado eixo.

Depende não só da massa do corpo, mas também da distância ao eixo de rotação. Isso é facilmente compreensível quando você pensa que, para alguns objetos, é mais fácil girar em torno de alguns eixos do que de outros.

Para um sistema de partículas, o momento de inércia, denotado pela letra I, é dado por:

I = ∑ rEu2 ΔmEu

Onde ΔmEu  é uma pequena porção de massa e rEu é a distância do eixo de rotação. Um corpo estendido é composto de inúmeras partículas, portanto seu momento de inércia total é a soma de todos os produtos entre a massa e a distância, das partículas que o compõem.


Se for um corpo estendido, a soma muda para uma integral e Δm torna-se um diferencial de massa dm. Os limites de integração dependem da geometria do objeto:

I = ∫M(r2) dm

O conceito de momento de inércia está intimamente relacionado ao momento angular de um objeto estendido, como veremos a seguir.

Momento angular de um sistema de partículas

Considere um sistema de partículas, composto de massas ΔmEu que está girando seguindo uma circunferência no plano xy, cada um tem uma velocidade linear relacionada à sua velocidade angular, esta última a mesma para todas as partículas:

vEu = ωrEu

Onde estáEu é a distância ao eixo de rotação O. Então a magnitude do momento angular é:

euEu= ΔmEu. rEu. (ωrEu)=  rEu2ω ΔmEu

O momento angular do sistema será dado pela soma:

L = ω ∑ rEu2 ΔmEu

Identificamos rapidamente o momento de inércia, conforme definido na seção anterior, e, portanto, a magnitude de seu momento angular é a seguinte:

L = Iω

Como já dissemos que o sistema de partículas estava no plano xy, verifica-se que o momento angular é direcionado ao longo do eixo z, perpendicular ao referido plano. O sentido é dado pelo da rotação: o momento angular é positivo se a rotação for feita no sentido anti-horário.

Um corpo estendido pode ser dividido em fatias, cada uma com momento angular dado por L = Iω direcionado ao longo do eixo z.Se o eixo de simetria do objeto coincide com o eixo z, não há problema, pois mesmo para pontos que não estão no plano xy, as componentes do momento angular perpendicular a esse eixo se cancelam.

Vectorialmente:

eu = Euω

Esta equação é válida para objetos tridimensionais que giram em torno de um eixo de simetria.

Quando o momento angular varia?

Quando uma rede de força atua sobre uma partícula ou um corpo, seu momento pode mudar e, conseqüentemente, seu momento angular também. Para descobrir quando isso varia, usamos a derivada, que nos dará a taxa de variação ao longo do tempo, se houver:

Aplicando a regra do produto para o derivado:

O fim v x mv é nulo, pois é o produto de um vetor consigo mesmo, e no segundo termo encontramos a força resultante F = mpara, portanto:

O produto vetorial r x F não é nada além do torque ou torque líquido, às vezes denotado pela letra grega τ ou como M, sempre em negrito, por se tratar de uma grandeza vetorial. Assim, em analogia com o momento linear, o momento angular varia, desde que haja um torque líquido ou torque:

deu/ dt = M

Conservação de momento angular

Nas seções anteriores, vimos que:

deu/ dt = M

Ou seja, o momento angular varia quando há um torque líquido. Se não houver torque líquido, então:

deu/ dt = 0 → L é constante

Em outras palavras:

Momento angular inicial = Momento angular final

Este resultado permanece válido mesmo no caso de um corpo não ser rígido, como veremos nos exemplos a seguir.

Exemplos

O momento angular é uma magnitude importante que se mostra em muitas situações, o que mostra o quão universal ele é:

Patinação artística e outros esportes

Sempre que um corpo em rotação se contrai, sua velocidade de rotação aumenta, o que é bem conhecido dos patinadores no gelo.

Isso se deve ao fato de que quando os braços e as pernas se contraem, o momento de inércia I diminui, pois a distância entre suas partes diminui, mas como o momento angular é conservado, para manter o produto Iω constante, a velocidade angular deve aumentar.

Isso vale não só para a patinação, mas também para esportes e atividades que exigem curvas, como mergulhadores e trapezistas de circo.

Gatos pousam em pé

Os gatos sempre conseguem cair de quatro quando caem. Embora não tenham impulso inicial, eles se certificam de girar rapidamente as pernas e a cauda para mudar sua inércia rotacional e conseguir pousar em pé.

Da mesma forma, enquanto manobram, seu momento angular é zero, pois sua rotação não é contínua.

O movimento de um frisbee

Um frisbee deve ser lançado girando-o para que voe, caso contrário, ele cairá. Na verdade, o momento angular fornecido pelo lançador dá ao disco estabilidade suficiente para se mover ainda mais no ar.

Bolas nos esportes

As bolas no beisebol, futebol, basquete e outros esportes têm impulso angular. Por serem esféricos, possuem momento de inércia e são girados durante o jogo. Já que o momento de inércia de uma esfera é:

I = (2/5) MR2

Onde M é a massa da bola e R seu raio, o momento de inércia em torno de um determinado eixo (fixo) é:

L = (2/5) MR2ω

A partida da lua

A Lua está se afastando da Terra, pois a velocidade de rotação da Terra diminui devido ao atrito entre grandes massas de água e o fundo do mar.

O sistema Terra-Lua conserva seu momento angular, portanto, se a Terra diminui sua contribuição, a Lua aumenta sua contribuição, afastando-se da Terra.

O átomo

O primeiro postulado do modelo atômico de Bohr afirma que um elétron só ocupa órbitas onde o momento angular é um múltiplo inteiro de h / 2π, onde h é a constante de Planck.

Exercício resolvido

Uma haste de aço fina tem massa de 500 ge comprimento de 30 cm. Ele gira em torno de um eixo que passa por seu centro a uma taxa de 300 rotações por minuto. Determine o módulo de seu momento angular.

Solução

Precisaremos do momento de inércia da haste referente a um eixo que passa por seu centro. Consultando as tabelas de momento de inércia verifica-se que:

I = (1/12) ML2 = (1/12) × 0,5 kg x (30 × 10-2 m)2 = 3.75 × 10-3 kg.m2

Por se tratar de um corpo estendido, do qual conhecemos a velocidade angular, usamos:

L = Iω

Antes de transformarmos a velocidade angular ou frequência angular ω para radianos / s:

ω = (300 revoluções / minuto) × (1 minuto / 60 segundos) x (2π radianos / revolução) = 10 π rad / s

Substituindo:

L = 3,75 x10-3 kg⋅m2 × 10 π rad / s = 0,118 kg⋅m2 / s

Referências

  1. Bauer, W. 2011. Physics for Engineering and Sciences. Volume 1. Mc Graw Hill.
  2. Giambattista, A. 2010. Física. 2ª Ed. McGraw Hill.
  3. Giancoli, D. 2006. Física: Princípios com Aplicações. 6º. Ed Prentice Hall.
  4. Knight, R. 2017. Physics for Scientists and Engineering: a Strategy Approach. Pearson.
  5. Serway, R., Jewett, J. (2008). Física para Ciência e Engenharia. Volume 1. 7º. Ed. Cengage Learning.
  6. Tippens, P. 2011. Physics: Concepts and Applications. 7ª Edição. McGraw Hill.