O que são primos parentes? Características e exemplos - Ciência - 2023
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Se chama primos relativos (coprimos ou primos relativos um ao outro) a qualquer par de inteiros que não têm divisor em comum, exceto 1. Em outras palavras, dois inteiros são primos relativos se em suas decomposições em números primos, eles não têm nenhum fator em comum.
Por exemplo, se 4 e 25 são escolhidos, as fatorações principais de cada um são 2² e 5², respectivamente. Como pode ser visto, eles não têm nenhum fator comum, portanto, 4 e 25 são primos relativos.
Por outro lado, se 6 e 24 são escolhidos, ao fazer suas decomposições em fatores primos, obtemos que 6 = 2 * 3 e 24 = 2³ * 3.
Como você pode ver, essas duas últimas expressões têm pelo menos um fator em comum, portanto, não são primos relativos.
Características de primos relativos
Um detalhe com o qual você deve ter cuidado é que dizer que um par de números inteiros são primos relativos não significa que qualquer um deles seja um número primo.
Por outro lado, a definição acima pode ser resumida da seguinte forma: dois inteiros "a" e "b" são primos relativos se, e somente se, o maior divisor comum deles for 1, ou seja, mdc ( a, b) = 1.
Duas conclusões imediatas desta definição são que:
-Se "a" (ou "b") é um número primo, então mdc (a, b) = 1.
-Se "a" e "b" são números primos, então mdc (a, b) = 1.
Ou seja, se pelo menos um dos números escolhidos for um número primo, então diretamente o par de números são primos relativos.
Outras características
Outros resultados usados para determinar se dois números são primos relativos são:
-Se dois inteiros são consecutivos, eles são primos relativos.
-Dois números naturais “a” e “b” são primos relativos se, e somente se, os números “(2 ^ a) -1” e “(2 ^ b) -1” são primos relativos.
-Dois inteiros "a" e "b" são primos relativos se, e somente se, ao representar graficamente o ponto (a, b) no plano cartesiano, e construir a linha que passa pela origem (0,0) e ( a, b), não contém nenhum ponto com coordenadas inteiras.
Exemplos
1.- Considere os inteiros 5 e 12. As fatorações principais de ambos os números são: 5 e 2² * 3, respectivamente. Em conclusão, mdc (5,12) = 1, portanto, 5 e 12 são primos relativos.
2.- Sejam os números -4 e 6. Então -4 = -2² e 6 = 2 * 3, de modo que o LCD (-4,6) = 2 ≠ 1. Em conclusão, -4 e 6 não são primos relativos.
Se procedermos ao gráfico da reta que passa pelos pares ordenados (-4.6) e (0,0), e determinarmos a equação dessa reta, pode-se verificar que ela passa pelo ponto (-2,3).
Mais uma vez, conclui-se que -4 e 6 não são primos relativos.
3.- Os números 7 e 44 são primos relativos e podem ser concluídos rapidamente graças ao que foi dito acima, já que 7 é um número primo.
4.- Considere os números 345 e 346. Sendo dois números consecutivos verifica-se que mdc (345.346) = 1, portanto 345 e 346 são primos relativos.
5.- Se os números 147 e 74 são considerados, então eles são primos relativos, uma vez que 147 = 3 * 7² e 74 = 2 * 37, portanto, o LCD (147,74) = 1.
6.- Os números 4 e 9 são primos relativos. Para demonstrar isso, a segunda caracterização mencionada acima pode ser usada. Na verdade, 2 ^ 4 -1 = 16-1 = 15 e 2 ^ 9-1 = 512-1 = 511.
Os números obtidos são 15 e 511. As fatorações principais desses números são 3 * 5 e 7 * 73, respectivamente, de modo que LCD (15.511) = 1.
Como você pode ver, usar a segunda caracterização é um trabalho mais longo e trabalhoso do que verificá-la diretamente.
7.- Considere os números -22 e -27. Então, esses números podem ser reescritos da seguinte forma: -22 = -2 * 11 e -27 = -3³. Portanto, o mdc (-22, -27) = 1, então -22 e -27 são primos relativos.
Referências
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