Aproximação de default e excesso: o que é e exemplos - Ciência - 2023

science
Aproximação de default e excesso: o que é e exemplos - Ciência
Aproximação de default e excesso: o que é e exemplos - Ciência

Contente

o sub e sobre aproximação, é um método numérico usado para estabelecer o valor de um número de acordo com diferentes escalas de precisão. Por exemplo, o número 235.623 está próximo de 235,6 por padrão e 235,7 por excesso. Se considerarmos os décimos como um limite de erro.

A aproximação consiste em substituir uma figura exata por outra, onde tal substituição deve facilitar o funcionamento de um problema matemático, preservando a estrutura e a essência do problema.

A ≈B

Ele lê; A aproximado de B. Onde "A" representa o valor exato e "B" o valor aproximado.

Números significativos

Os valores com os quais um número aproximado é definido são conhecidos como algarismos significativos. Na aproximação do exemplo quatro algarismos significativos foram tomados. A precisão de um número é dada pelo número de algarismos significativos que o definem.


Os zeros infinitos que podem ser localizados à direita e à esquerda do número não são considerados algarismos significativos. A localização da vírgula não desempenha nenhum papel na definição dos algarismos significativos de um número.

750385

. . . . 00,0075038500 . . . .

75,038500000 . . . . .

750385000 . . . . .

. . . . . 000007503850000 . . . . .

Em que consiste?

O método é bastante simples; escolha o limite de erro, que nada mais é do que o intervalo numérico onde você deseja fazer o corte. O valor desta faixa é diretamente proporcional à margem de erro do número aproximado.

No exemplo acima, 235.623 possui milésimos (623). Então a aproximação aos décimos foi feita. O valor para excesso (235,7) corresponde ao valor mais significativo em décimos imediatamente após o número original.

Por outro lado, o valor para padrão (235,6) corresponde ao valor mais próximo e mais significativo em décimos que está antes do número original.


A aproximação numérica é bastante comum na prática com números. Outros métodos amplamente utilizados são arredondamento e truncamento; que respondem a diferentes critérios para atribuir os valores.

A margem de erro

Ao definir a faixa numérica que o número cobrirá após ser aproximado, também definimos o limite de erro que acompanha a figura. Isso será denotado com um número racional existente ou significativo no intervalo atribuído.

No exemplo inicial, os valores definidos por excesso (235,7) e por padrão (235,6) tem um erro aproximado de 0,1. Em estudos estatísticos e de probabilidade, 2 tipos de erros são tratados em relação ao valor numérico; erro absoluto e erro relativo.

Balanças

Os critérios para estabelecer intervalos de aproximação podem ser altamente variáveis ​​e estão intimamente relacionados às especificações do elemento a ser aproximado. Em países com alta inflação, excesso de aproximações eles ignoram alguns intervalos numéricos, porque estes são menores do que a escala inflacionária.


Desse modo, em uma inflação maior que 100%, o vendedor não ajustará um produto de $ 50 para $ 55, mas o aproximará de $ 100, ignorando assim as unidades e dezenas ao se aproximar diretamente da centena.

Usando a calculadora

As calculadoras convencionais trazem consigo o modo FIX, onde o usuário pode configurar a quantidade de casas decimais que deseja receber em seus resultados. Isso gera erros que devem ser considerados ao fazer cálculos exatos.

Aproximação de números irracionais

Alguns valores amplamente utilizados em operações numéricas pertencem ao conjunto dos números irracionais, cuja principal característica é ter um número indeterminado de casas decimais.

Valores como:

  • π = 3,141592654….
  • e = 2,718281828 ...
  • √2 = 1,414213562…

São comuns em experimentos e seus valores devem ser definidos em uma determinada faixa, levando em consideração os possíveis erros gerados.

Para que servem?

No caso da divisão (1 ÷ 3) observa-se, por meio da experimentação, a necessidade de se estabelecer um corte no número de operações realizadas para definir o número.

1 ÷ 3 = 0,333333 . . . . . .

1 ÷ 3 3 / 10 = 0,3

1 ÷ 3 33 / 100 = 0,33

1 ÷ 3 333 / 1000 = 0,333

1 ÷ 3 3333 / 10000 = 0,3333

1 ÷ 3 333333 . . . . . / 10000 . . . . . = 0,333333 . . . . .

É apresentada uma operação que pode ser perpetuada indefinidamente, por isso é necessário aproximar em algum ponto.

No caso de:

1 ÷ 3 333333 . . . . . / 10000 . . . . . = 0,333333 . . . . .

Para qualquer ponto estabelecido como margem de erro, será obtido um número menor que o valor exato de (1 ÷ 3). Desta forma, todas as aproximações feitas anteriormente são aproximações padrão de (1 ÷ 3).


Exemplos

Exemplo 1

  1. Qual dos seguintes números é uma aproximação por padrão de 0,0127
  • 0,13
  • 0,012; É uma aproximação padrão de 0,0127
  • 0,01; É uma aproximação padrão de 0,0127
  • 0,0128

Exemplo 2

  1. Qual dos seguintes números é uma aproximação por excesso de 23.435
  • 24; é uma aproximação por excesso de 23.435
  • 23,4
  • 23,44; é uma aproximação por excesso de 23.435
  • 23,5; é uma aproximação por excesso de 23.435

Exemplo 3

  1. Defina os seguintes números usando um aproximação padrão, com o nível de erro indicado.
  • 547,2648…. Por milésimos, centésimos e dezenas.

Milésimos: Os milésimos correspondem aos 3 primeiros dígitos após a vírgula, onde após 999 vem a unidade. Prosseguimos para aproximar 547,264.


Centésimos: Denotados pelos 2 primeiros dígitos após a vírgula, os centésimos devem corresponder a 99 para atingir a unidade. Desta forma, é aproximado por padrão a 547,26.

Dezenas: neste caso, o limite de erro é muito maior, porque o intervalo da aproximação é definido dentro dos números inteiros. Ao aproximar por padrão no dez, obtemos 540.

Exemplo 4

  1. Defina os seguintes números usando um excesso de aproximação, com o nível de erro indicado.
  • 1204,27317 Para décimos, centenas e uns.

Décimos: Refere-se ao primeiro dígito após a vírgula, onde a unidade é composta após 0,9. Aproximando-se por excesso dos décimos, obtemos 1204,3.


Centenas: Novamente, um limite de erro é observado, cujo intervalo está dentro dos números inteiros da figura. Aproximando excessivamente as centenas, obtemos 1300. Este número está consideravelmente longe de 1204,27317. Por causa disso, as aproximações geralmente não são aplicadas a valores inteiros.


Unidades: Aproximando-nos excessivamente da unidade, obtemos 1205.

Exemplo 5

  1. Uma costureira corta um pedaço de tecido de 135,3 cm para fazer uma bandeira de 7.855 cm2. Quanto o outro lado medirá se você usar uma régua convencional que marca até milímetros.

Resultados aproximados por excesso e defeito.

A área da bandeira é retangular e é definida por:

A = lado x lado

lado = A / lado

lado = 7855cm2 / 135,3cm

lado = 58,05617147 cm


Devido à apreciação da regra, podemos obter dados até milímetros, o que corresponde à gama de decimais em relação ao centímetro.

Desta forma 58 cm é uma aproximação padrão.

Enquanto que 58.1 é uma aproximação em excesso.

Exemplo 6

  1. Defina 9 valores que podem ser números exatos em cada uma das aproximações:
  • 34.071 é o resultado da aproximação de milésimos por padrão

34,07124          34,07108          34,07199

34,0719            34,07157          34,07135

34,0712         34,071001        34,07176

  • 0,012 é o resultado da aproximação de milésimos por padrão

0,01291          0,012099           0,01202

0,01233          0,01223              0,01255


0,01201          0,0121457          0,01297

  • 23,9 é o resultado de aproximar décimos por excesso

23,801          23,85555          23,81

23,89          23,8324          23,82

23,833          23,84          23,80004

  • 58,37 é o resultado de aproximar centésimos por excesso

58,3605          58,36001      58,36065

58,3655          58,362          58,363

58,3623        58,361          58,3634

Exemplo 7

  1. Aproxime cada número irracional de acordo com o limite de erro indicado:
  •  π = 3,141592654….

Milésimos por padrãoπ = 3,141

Milésimos por excesso π = 3,142

Centésimos por padrãoπ = 3,14

Centésimos por excesso π = 3,15

Décimos por padrão π = 3,1

Décimos por excesso π= 3,2

  • e = 2,718281828 ...

Milésimos por padrão e = 2,718

Milésimos por excesso  e = 2.719

Centésimos por padrão e = 2,71

Centésimos por excesso  e = 2,72

Décimos por padrão e = 2,7

Décimos por excesso  e = 2,8

  •  √2 = 1,414213562…

Milésimos por padrão√2 = 1,414

Milésimos por excesso  √2 = 1,415

Centésimos por padrão√2 = 1,41

Centésimos por excesso  √2 = 1,42


Décimos por padrão √2 = 1,4

Décimos por excesso  √2 = 1,5

  • 1 ÷3 = 0,3333333 . . . . .

Milésimos por padrão1 ÷3  = 0,332

Milésimos por excesso1 ÷3 = 0,334

Centésimos por padrão1 ÷3  = 0,33

Centésimos por excesso1 ÷3 = 0,34

Décimos por padrão1 ÷3 = 0,3

Décimos por excesso1 ÷3  = 0,4

Referências

  1. Problemas em Análise Matemática. Piotr Biler, Alfred Witkowski. Universidade de Wroclaw. Polônia.
  2. Introdução à Lógica e à Metodologia das Ciências Dedutivas. Alfred Tarski, New York Oxford. Imprensa da Universidade de Oxford.
  3. The Arithmetic Teacher, Volume 29. Conselho Nacional de Professores de Matemática, 1981. Universidade de Michigan.
  4. Aprendendo e ensinando a teoria dos números: Pesquisa em cognição e instrução / editado por Stephen R. Campbell e Rina Zazkis. Ablex publicando 88 Post Road West, Westport CT 06881.
  5. Bernoulli, J. (1987). Ars Conjectandi- 4ème partie. Rouen: IREM.