Teorema do fator: explicação, exemplos, exercícios - Ciência - 2023

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o teorema do fator afirma que um polinômio P (x) é divisível por um binômio da forma (x - a) se x = a é uma raiz de P (x), ou seja, P (a) = 0. Diz-se que um polinômio é divisível entre outro quando seu residual ou resto é zero.

Um polinômio é uma expressão da forma:

P (x) = a_n xⁿ + a_n-1 x^n-1 + …… + a₁ x + a₀

Onde:

-n é o grau do polinômio, onde n é o maior inteiro ao qual a variável independente x é elevada,

-Valores para_n, para_n-1 , …… + a₁ , para₀ são os coeficientes do polinômio, que geralmente são números reais, mas também podem ser números complexos.

Um polinômio de grau n pode ser decomposto como o produto de n binômios da forma:

(x - r_Eu)

Onde está_Eu é a i-ésima raiz de P (x):

P (x) = a_n (x - r₁) (x - r₂)… .. (x - r_n)

Já que o número de raízes de um polinômio é igual ao seu grau.

Exemplos

- Exemplo 1

Vamos considerar o polinômio:

P (x) = 3⋅x² - 7⋅x + 2

Você quer saber se este polinômio é divisível pelo binômio (x - 2). Se o teorema do fator for usado, devemos avaliar P (x = 2) para saber se o valor 2 é uma raiz ou não. Em seguida, procedemos para avaliar a expressão:

P (2) = 3⋅22 - 7⋅2 + 2 = 3⋅4 - 7⋅2 + 2 = 12 - 14 + 2 = 12 - 12 = 0.

Acontece que x = 2 é a raiz de P (x), então de acordo com o teorema do fator, o binômio (x - 2) é efetivamente um fator de P (x).

Vamos prosseguir para a verificação direta por divisão. O detalhe de como a divisão é realizada é mostrado na figura a seguir:

Verifica-se que o quociente entre P (x) e (x-2) dá um polinômio de menor grau denominado quociente C (x) = 3⋅x - 1 com resto 0.

Podemos resumir o resultado da seguinte forma:

(3⋅x² - 7⋅x + 2) ÷ (x -2) = (3⋅x - 1) + 0

A expressão anterior pode ser escrita de outra forma, simplesmente lembrando que o dividendo P (x) é igual ao produto do divisor (x -2) pelo quociente (3⋅x - 1) mais o resto (zero neste caso):

(3⋅x² - 7⋅x + 2) = (x -2) (3⋅x - 1) + 0

Dessa forma foi possível fatorar o polinômio P (x), ou seja, escrever como produto de polinômios, o polinômio original:

(3⋅x² - 7⋅x + 2) = (x -2) (3⋅x - 1)

- Exemplo 2

Seja o polinômio Q (x) = x³ - x + 2. Queremos saber se ele é divisível pelo binômio (x + 1).

A maneira mais direta é simplesmente aplicar o teorema do fator. Neste caso, basta verificar se x = -1 cancela ou não o polinômio Q (x).

Prosseguimos substituindo:

Q (-1) = (-1)³ – (-1) + 2 = -1 + 1 + 2 = 2

O resultado é diferente de zero, pois o teorema do fator nos garante que o polinômio Q (x) não é divisível por (x + 1), já que Q (-1) ≠ 0.

Agora procederemos à divisão de Q (x) pelo binômio (x + 1) como método de verificação de nossa conclusão.

Desta vez a divisão será feita pelo método da divisão sintética, que consiste em colocar na primeira linha ordenada do grau mais alto ao grau zero todos os coeficientes do polinômio, inclusive os faltantes, por terem coeficiente zero.

Então, na primeira coluna, o termo independente do divisor é colocado, mas com o sinal alterado, no nosso caso o divisor é (x + 1). Seu termo independente é 1, mas como na primeira coluna é colocado sinal alterado, ou seja, -1.

A figura a seguir ilustra como a divisão sintética é feita:

Com este resultado verifica-se que (x + 1) não é um fator do polinômio Q (x) = x³ - x + 2 visto que o resto não é zero.

Esta conclusão não é surpreendente, pois já havia sido prevista com o teorema do fator. Observe também que, substituindo x = -1 em Q (x), o que é obtido é precisamente o resto ou resto da divisão dos polinômios, uma vez que Q (-1) = resto = 2.

Claro, a divisão fornece as informações adicionais do quociente C (x) = x² - x.

Lembrando que o dividendo Q (x) é igual ao divisor (x + 1) pelo quociente C (x) mais o resto r = 2, temos a expansão do polinômio Q (x) da seguinte forma:

Q (x) = (x + 1) (x² - x) + 2 = x (x + 1) (x - 1) + 2

Deve-se notar que esta expressão não é a fatoração do referido polinômio, uma vez que há uma adição de termo diferente de zero, que é justamente o resto do valor 2.

Exercícios

- Exercício 1

Encontre os fatores do polinômio

P (x) = x³ - 5 x² + 2 x + 8

E também escreva sua fatoração.

Solução

O teorema do fator nos diz para procurar as raízes para para então encontrar os fatores (x - para), neste caso por se tratar de um polinômio de grau três, deve haver três raízes.

Por ser um polinômio com coeficientes inteiros, as raízes devem estar entre os divisores do termo independente, que neste caso é 8. Esses divisores são:

±1, ±2, ±4, ±8.

Começamos explorando o +1: P (+1) = 1³ – 5⋅ 1² + 2⋅1 + 8 = 1 - 5 + 2 + 8 = 6 que é diferente de 0, portanto, +1 não é uma raiz.

Exploramos -1:

P (-1) = (-1)³ – 5⋅ (-1)² + 2⋅(-1) + 8 = -1 – 5 – 2 + 8 = 0

Do resultado conclui-se que -1 é a raiz de P (x) e (x - (-1)) = (x + 1) é um fator do polinômio.

Mais dois fatores ainda precisam ser encontrados:

Provamos o seguinte, que é +2:

P (+2) = (+2)³ – 5⋅ (+2)² + 2⋅(+2) + 8 = 8 + (-20) + 4 + 8 = 0

Novamente obtemos zero. Portanto, o outro fator é (x - 2).

Uma vez que é um polinômio de grau três, só precisamos encontrar um fator. Agora testamos o valor +4 para saber se ele cancela o polinômio:

P (+4) = (+4)³ – 5⋅ (+4)² + 2⋅(+4) + 8 = 64 – 80 + 8 + 8 = 0.

Em outras palavras, +4 é a raiz de P (x) e, portanto, o binômio (x - 4) é outro de seus fatores.

Chega de pesquisar, pois é um polinômio de grau 3 que possui no máximo três raízes. Nesse exercício, todas as raízes se revelaram reais e inteiras.

Portanto, o polinômio P (x) é fatorado assim:

P (x) = x³ - 5 x² + 2 x + 8 = (x + 1) (x - 2) (x - 4).

- Exercício 2

Seja o polinômio p⋅x³ - x + 2p. Determine o valor de p de forma que o polinômio seja divisível por (x + 2).

Solução

Usamos o teorema do fator, que afirma que se x = -2 cancela o polinômio, então (x - (-2)) é um fator desse polinômio.

Em seguida, substituímos (-2) por x no polinômio original, simplificamos e definimos igual a zero:

p⋅ (-2)³ - (-2) + 2p = 8p + 2 + 2p = 10p + 2 = 0

Agora, o valor de p é limpo para que a igualdade com zero seja satisfeita:

p = -2 / 10 = -⅕

Isso significa que o polinômio:

-⅕⋅x³ - x - ⅖

É divisível por (x + 2), ou o que é equivalente: (x + 2) é um de seus fatores.

Referências

Baldor Aurelio. Álgebra. Grupo Editorial Patria.
Demana, W. Precalculus: Graphical, Numerical, Algebraic 7th Ed. Pearson Education.
Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
Stewart, J. 2006. Precalculus: Mathematics for Calculus. 5 ª. Edição. Cengage Learning.
Zill, D. 1984. Algebra and Trigonometry. McGraw Hill.