Coordenadas cilíndricas: sistema, mudança e exercícios - Ciência - 2023

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As coordenadas cilíndricas Eles servem para localizar pontos no espaço tridimensional e consistem em uma coordenada radial ρ, uma coordenada azimutal φ e uma coordenada de altura z.

Um ponto P localizado no espaço é projetado ortogonalmente no plano XY dando origem ao ponto P ’ naquele avião. A distância da origem ao ponto P ’ define a coordenada ρ, enquanto o ângulo formado pelo eixo X com o raio OP ' define a coordenada φ. Finalmente, a coordenada z é a projeção ortogonal do ponto P no eixo Z. (veja a figura 1).

A coordenada radial ρ é sempre positiva, a coordenada azimutal φ varia de zero radianos a dois pi radianos, enquanto a coordenada z pode assumir qualquer valor real:

0 ≤ ρ < ∞

0 ≤ φ < 2π

- ∞ <z <+ ∞

Mudança de coordenadas

É relativamente fácil obter as coordenadas cartesianas (x, y, z) de um ponto P a partir de suas coordenadas cilíndricas (ρ, φ, z):

x = ρ cos (φ)

y = ρ sen (φ)

z = z

Mas também é possível obter as coordenadas polares (ρ, φ, z) a partir do conhecimento das coordenadas cartesianas (x, y, z) de um ponto P:

ρ = √ (x² + e²)

φ = arctan (y / x)

z = z

Base vetorial em coordenadas cilíndricas

A base dos vetores unitários cilíndricos é definida Uρ, Uφ, Uz.

Vetor Uρ é tangente à linha φ = ctte ez = ctte (apontando radialmente para fora), o vetor Uφ é tangente à linha ρ = ctte ez = ctte e finalmente Uz tem a mesma direção do eixo Z.

Na base da unidade cilíndrica, o vetor posição r de um ponto P é escrito vetorialmente assim:

r = ρ Uρ + 0 Uφ + z Uz

Por outro lado, um deslocamento infinitesimal dr do ponto P é expresso da seguinte forma:

dr = dρ Uρ + ρ dφ Uφ + dz Uz

Da mesma forma, um elemento infinitesimal de volume dV em coordenadas cilíndricas é:

dV = ρ dρ dφ dz

Exemplos

Existem inúmeros exemplos de uso e aplicação de coordenadas cilíndricas. Na cartografia, por exemplo, o projeção cilíndrica, com base precisamente nessas coordenadas. Existem mais exemplos:

Exemplo 1

As coordenadas cilíndricas têm aplicações em tecnologia. Como exemplo, existe o sistema CHS (Cylinder-Head-Sector) de localização de dados em um disco rígido, que na verdade consiste em vários discos:

- O cilindro ou pista corresponde à coordenada ρ.

- O setor corresponde à posição φ do disco girando em alta velocidade angular.

- A cabeça corresponde à posição z da cabeça de leitura no disco correspondente.

Cada byte de informação possui um endereço preciso em coordenadas cilíndricas (C, S, H).

Exemplo 2

Os guindastes de construção fixam a posição da carga em coordenadas cilíndricas. A posição horizontal é definida pela distância ao eixo ou seta da grua ρ e pela sua posição angular φ em relação a algum eixo de referência. A posição vertical da carga é determinada pela coordenada z da altura.

Exercícios resolvidos

Exercício 1

Existem os pontos P1 com coordenadas cilíndricas (3, 120º, -4) e o ponto P2 com coordenadas cilíndricas (2, 90º, 5). Encontre o Distância euclidiana entre esses dois pontos.

Solução: Primeiro, procedemos para encontrar as coordenadas cartesianas de cada ponto, seguindo a fórmula dada acima.

P1 = (3 * cos 120º, 3 * sin 120º, -4) = (-1,5, 2,60, -4)

P2 = (2 * cos 90º, 2 * sen 90º, 5) = (0, 2, 5)

A distância euclidiana entre P1 e P2 é:

d (P1, P2) = √ ((0 - (-1,5))²+(2 – 2.60)²+(5 -(-4))² ) =…

… √(2.25+0.36+81) = 9.14

Exercício 2

O ponto P possui coordenadas cartesianas (-3, 4, 2). Encontre as coordenadas cilíndricas correspondentes.

Solução: Prosseguimos para encontrar as coordenadas cilíndricas usando as relações fornecidas acima:

ρ = √ (x² + e²) = √((-3)² + 4²) = √(9 + 16) = √(25) = 5

φ = arctan (y / x) = arctan (4 / (- 3)) = -53,13º + 180º = 126,87º

z = 2

Deve ser lembrado que a função arco tangente é multivalorada com periodicidade de 180º. Além disso, o ângulo φ deve pertencer ao segundo quadrante, uma vez que as coordenadas xey do ponto P estão nesse quadrante. Esta é a razão pela qual 180º foi adicionado ao resultado φ.

Exercício 3

Expressa em coordenadas cilíndricas e em coordenadas cartesianas a superfície de um cilindro de raio 2 e cujo eixo coincide com o eixo Z.

Solução: Entende-se que o cilindro possui uma extensão infinita na direção z, então a equação da referida superfície em coordenadas cilíndricas é:

ρ = 2

Para obter a equação cartesiana da superfície cilíndrica, o quadrado de ambos os membros da equação anterior é tomado:

ρ² = 4

Multiplicamos por 1 ambos os membros da igualdade anterior e aplicamos o identidade trigonométrica fundamental (sen²(φ) + cos²(φ) =1 ):

1 * ρ² = 1 * 4

(sen²(φ) + cos²(φ) ) * ρ² = 1 * 4

O parêntese é desenvolvido para obter:

(ρ sen (φ))² + (ρ cos (φ))² = 4

Lembramos que os primeiros parênteses (ρ sin (φ)) é a coordenada y de um ponto em coordenadas polares, enquanto os parênteses (ρ cos (φ)) representam a coordenada x, de modo que temos a equação do cilindro em coordenadas cartesianas:

Y² + x² = 2²

A equação anterior não deve ser confundida com a de uma circunferência no plano XY, pois neste caso seria assim: {y² + x² = 2² ; z = 0}.

Exercício 4

Um cilindro de raio R = 1 me altura H = 1m tem sua massa distribuída radialmente de acordo com a seguinte equação D (ρ) = C (1 - ρ / R) onde C é uma constante de valor C = 1 kg / m³. Encontre a massa total do cilindro em quilogramas.

Solução: A primeira coisa é perceber que a função D (ρ) representa a densidade de massa volumétrica, e que a densidade de massa é distribuída em cascas cilíndricas de densidade decrescente do centro para a periferia. Um elemento infinitesimal de volume de acordo com a simetria do problema é:

dV = ρ dρ 2π H

Portanto, a massa infinitesimal de uma casca cilíndrica será:

dM = D (ρ) dV

Portanto, a massa total do cilindro será expressa pela seguinte integral definida:

M = ∫_ou^R D (ρ) dV = ∫_ou^R C (1 - ρ / R) ρ dρ 2π H = 2π H C ∫_ou^R (1 - ρ / R) ρ dρ

A solução da integral indicada não é difícil de obter, sendo o seu resultado:

∫_ou^R (1 - ρ / R) ρ dρ = (⅙) R²

Incorporando este resultado na expressão da massa do cilindro, obtemos:

M = 2π H C (⅙) R² = ⅓ π H C R² =

⅓ π 1m * 1kg / m³ * 1m² = π / 3 kg ≈ 1,05 kg

Referências

Arfken G e Weber H. (2012). Métodos matemáticos para físicos. Um guia completo. 7ª edição. Academic Press. ISBN 978-0-12-384654-9
Cálculo cc. Resolvidos problemas de coordenadas cilíndricas e esféricas. Recuperado de: calculo.cc
Weisstein, Eric W. "Cylindrical Coordinates." Da MathWorld - A Wolfram Web. Recuperado de: mathworld.wolfram.com
wikipedia. Sistema de coordenadas cilíndricas. Recuperado de: en.wikipedia.com
wikipedia. Campos de vetor em coordenadas cilíndricas e esféricas. Recuperado de: en.wikipedia.com