Desigualdade triangular: prova, exemplos, exercícios resolvidos - Ciência - 2023

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Se denomina desigualdade triangular à propriedade de dois números reais que consistem em que o valor absoluto de sua soma é sempre menor ou igual à soma de seus valores absolutos. Essa propriedade também é conhecida como desigualdade de Minkowski ou desigualdade triangular.

Essa propriedade dos números é chamada de desigualdade triangular porque nos triângulos acontece que o comprimento de um lado é sempre menor ou igual à soma dos outros dois, embora essa desigualdade nem sempre se aplique na área dos triângulos.

Existem várias provas da desigualdade triangular em números reais, mas neste caso vamos escolher uma com base nas propriedades de valor absoluto e o binomial ao quadrado.

Teorema: Para cada par de números para Y b relativos aos números reais tem que:


| a + b | ≤ | para | + | b |

Demonstração

Começamos considerando o primeiro membro da desigualdade, que será elevado ao quadrado:

| a + b | ^ 2 = (a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2 a b + b ^ 2 (Eq. 1)

Na etapa anterior, foi utilizada a propriedade de que qualquer número ao quadrado é igual ao valor absoluto do referido número ao quadrado, ou seja:| x | ^ 2 = x ^ 2. A expansão binomial quadrada também foi utilizada.

Todos os números x é menor ou igual ao seu valor absoluto. Se o número for positivo é igual, mas se o número for negativo será sempre menor que um número positivo. Neste caso seu próprio valor absoluto, ou seja, pode-se afirmar que x ≤ | x |.

O produto (a b) é um número, portanto, aplica-se que (a b) ≤ | a b |. Quando esta propriedade é aplicada a (Eq. 1), temos:

| a + b | ^ 2 = a ^ 2 + 2 (a b) + b ^ 2 ≤ a ^ 2 + 2 | a b | + b ^ 2 (Eq. 2)


Tendo em conta que | a b | = | a || b | la (eq. 2) pode ser escrita da seguinte forma:

 | a + b | ^ 2 ≤ a ^ 2 + 2 | a || b | + b ^ 2 (Eq. 3)

Mas, uma vez que dissemos antes que o quadrado de um número é igual ao valor absoluto do número ao quadrado, a equação 3 pode ser reescrita da seguinte forma:

 | a + b | ^ 2 ≤ | a | ^ 2 + 2 | a | | b | + | b | ^ 2 (Eq. 4)

No segundo membro da desigualdade, um produto notável é reconhecido, que quando aplicado leva a:

 | a + b | ^ 2 ≤ (| a | + | b |) ^ 2 (Eq. 5)

Na expressão anterior deve-se notar que os valores a serem elevados ao quadrado em ambos os membros da desigualdade são positivos, portanto, também deve ser satisfeito que:

 | a + b | ≤ (| a | + | b |) (Eq. 6)

A expressão acimaé exatamente o que se queria demonstrar.

Exemplos

A seguir, verificaremos a desigualdade triangular com vários exemplos.


Exemplo 1

Tomamos o valor a = 2 e o valor b = 5, ou seja, ambos números positivos e verificamos se a desigualdade é satisfeita ou não.

 | 2 + 5 |  ≤ |2|+ |5|

 | 7 |  ≤ |2|+ |5|

7   ≤ 2+ 5

A igualdade é verificada, portanto, o teorema da desigualdade do triângulo foi cumprido.

Exemplo 2

Os seguintes valores são escolhidos a = 2 eb = -5, ou seja, um número positivo e outro negativo, verificamos se a desigualdade é satisfeita ou não.

 | 2 – 5 |  ≤ |2|+ |-5|

 | -3 |  ≤ |2|+ |-5|

 3   ≤ 2 + 5

A desigualdade é cumprida, portanto o teorema da desigualdade triangular foi verificado.

Exemplo 3

Tomamos o valor a = -2 e o valor b = 5, ou seja, um número negativo e outro positivo, verificamos se a desigualdade é satisfeita ou não.

 | -2 + 5 |  ≤ |-2|+ |5|

 | 3 |  ≤ |-2|+ |5|

 3   ≤ 2 + 5

A desigualdade é verificada, portanto o teorema foi cumprido.

Exemplo 4

São escolhidos os seguintes valores a = -2 eb = -5, ou seja, ambos os números negativos e verificamos se a desigualdade é satisfeita ou não.

 | -2 – 5 |  ≤ |-2|+ |-5|

 | -7 |  ≤ |-2|+ |-5|

 7   ≤ 2+ 5

A igualdade é verificada, portanto o teorema da desigualdade de Minkowski foi cumprido.

Exemplo 5

Tomamos o valor a = 0 e o valor b = 5, ou seja, um número zero e o outro positivo, então verificamos se a desigualdade é satisfeita ou não.

 | 0 + 5 |  ≤ |0|+ |5|

 | 5 |  ≤ |0|+ |5|

 5   ≤ 0+ 5

A igualdade é cumprida, portanto, o teorema da desigualdade do triângulo foi verificado.

Exemplo 6

Tomamos o valor a = 0 e o valor b = -7, ou seja, um número zero e o outro positivo, então verificamos se a desigualdade é satisfeita ou não.

 | 0 – 7 |  ≤ |0|+ |-7|

 | -7 |  ≤ |0|+ |-7|

 7   ≤ 0+ 7

A igualdade é verificada, portanto o teorema da desigualdade triangular foi cumprido.

Exercícios resolvidos

Nos exercícios a seguir, represente geometricamente a desigualdade do triângulo ou desigualdade de Minkowski para os números a e b.

O número a será representado como um segmento no eixo X, sua origem O coincide com o zero do eixo X e a outra extremidade do segmento (no ponto P) estará na direção positiva (à direita) do eixo X se um > 0, mas se a <0 será na direção negativa do eixo X, tantas unidades quantas seu valor absoluto indicar.

Da mesma forma, o número b será representado como um segmento cuja origem está acima do ponto P. O outro extremo, ou seja, o ponto Q estará à direita de P se b for positivo (b> 0) e o ponto Q será | b | unidades à esquerda de P se b <0.

Exercício 1

Represente graficamente a desigualdade do triângulo para a = 5 e b = 3| a + b | ≤ | para | + | b |, ser c = a + b. 

Exercício 2

Represente graficamente a desigualdade triangular para a = 5 e b = -3.

| a + b | ≤ | para | + | b |, ser c = a + b.

Exercício 3

Mostre graficamente a desigualdade do triângulo para a = -5 e b = 3.

| a + b | ≤ | para | + | b |, ser c = a + b. 

Exercício 4

Construa graficamente a desigualdade triangular para a = -5 e b = -3.

| a + b | ≤ | para | + | b |, ser c = a + b.

Referências

  1. E. Whitesitt. (1980) Boolean Algebra and its Applications. Empresa Editorial Continental C. A.
  2. Mícheál O ’Searcoid. (2003) Elements of Abstract Analysis. . Departamento de matemática. Faculdade universitária Dublin, Beldfield, Dublind.
  3. J. Van Wyk. (2006) Matemática e Engenharia em Ciência da Computação. Instituto de Ciências e Tecnologia da Computação. National Bureau of Standards. Washington, D.C. 20234
  4. Eric Lehman. Matemática para Ciência da Computação. Google Inc.
  5. F Thomson Leighton (1980). Cálculo. Departamento de Matemática e Ciência da Computação e Laboratório de IA, Massachussetts Institute of Technology.
  6. Khan Academy. Teorema da Desigualdade do Triângulo. Recuperado de: khanacademy.org
  7. Wikipedia. Desigualdade triangular. Recuperado de: es. wikipedia.com