Trajetória em física: características, tipos, exemplos e exercícios - Ciência - 2023

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o trajetória em física É a curva que um móbile descreve ao passar por pontos sucessivos durante seu movimento. Uma vez que pode ter muitas variantes, o mesmo acontecerá com as trajetórias que o celular pode seguir.

Para ir de um lugar a outro, uma pessoa pode percorrer diferentes caminhos e caminhos diferentes: a pé pelas calçadas de ruas e avenidas, ou chegando de carro ou moto em uma rodovia. Durante uma caminhada pela floresta, o caminhante pode seguir um caminho complicado que inclui curvas, subindo ou descendo de nível e até passando pelo mesmo ponto várias vezes.

Se os pontos por onde o móbile passa seguirem uma linha reta, a trajetória será retilínea. Este é o caminho mais simples, porque é unidimensional. Especificar a posição requer uma única coordenada.

Mas o móbile pode seguir um caminho curvilíneo, podendo ser fechado ou aberto. Nestes casos, o rastreamento da posição requer duas ou três coordenadas. Esses são movimentos no plano e no espaço, respectivamente. Isso tem a ver com links: condições materiais que limitam o movimento. Alguns exemplos são:

- As órbitas que descrevem os planetas ao redor do Sol são caminhos fechados em forma de elipse. Embora, em alguns casos, possam ser aproximados de uma circular, como no caso da Terra.

- A bola que o goleiro chuta em um tiro de meta segue uma trajetória parabólica.

- Um pássaro em vôo descreve trajetórias curvilíneas no espaço, porque além de se mover em um avião, ele pode subir ou descer nivelado à vontade.

A trajetória em física pode ser expressa matematicamente quando a posição do móbile é conhecida em qualquer instante do tempo. Estar r o vetor de posição, que por sua vez tem coordenadas x, Y Y z no caso mais geral de um movimento em três dimensões. Conhecendo a função r (t) a trajetória será completamente determinada.

Tipos

Em termos gerais, a trajetória pode ser uma curva bastante complicada, especialmente se você quiser expressá-la matematicamente. Por isso, partimos dos modelos mais simples, onde os móbiles viajam em linha reta ou em um avião, que pode ser o chão ou qualquer outro adequado:

Movimentos em uma, duas e três dimensões

As trajetórias mais estudadas são:

– Retilíneo, ao viajar em uma linha reta horizontal, vertical ou inclinada. Uma bola lançada verticalmente para cima segue este caminho, ou um objeto deslizando em uma inclinação o segue. Eles são movimentos unidimensionais, uma única coordenada sendo suficiente para determinar sua posição completamente.

– Parabólico, em que o móbile descreve um arco de parábola. É frequente, pois qualquer objeto lançado obliquamente sob a ação da gravidade (um projétil) segue essa trajetória. Para especificar a posição do celular, você deve fornecer duas coordenadas: x Y Y.

– Circular, ocorre quando a partícula em movimento segue uma circunferência. Também é comum na natureza e na prática diária. Muitos objetos do dia-a-dia seguem um caminho circular, como pneus, peças de máquinas e satélites em órbita, para citar alguns.

– Elíptico, o objeto se move seguindo uma elipse. Como disse no início, é o caminho percorrido pelos planetas em órbita ao redor do sol.

– HiperbólicoObjetos astronômicos sob a ação de uma força central (gravidade), podem seguir trajetórias elípticas (fechadas) ou hiperbólicas (abertas), sendo estas menos frequentes que as primeiras.

– Helicoidal, ou movimento em espiral, como o de um pássaro subindo em uma corrente térmica.

– Balanço ou pêndulo, o móbile descreve um arco em movimentos para frente e para trás.

Exemplos

As trajetórias descritas na seção anterior são muito úteis para ter uma ideia rápida de como um objeto está se movendo. De qualquer forma, é necessário esclarecer que a trajetória de um móbile depende da localização do observador. Isso significa que o mesmo evento pode ser visto de maneiras diferentes, dependendo da localização de cada pessoa.

Por exemplo, uma garota pedala a uma velocidade constante e joga uma bola para cima. Ela observa que a bola descreve um caminho retilíneo.

Porém, para um observador parado na estrada que a vê passar, a bola terá um movimento parabólico. Para ele, a bola era inicialmente lançada com velocidade inclinada, resultado da velocidade de subida da mão da menina mais a velocidade da bicicleta.

Caminho de um móvel de forma explícita, implícita e paramétrica

– Explícito, especificando diretamente a curva ou lugar geométrico dado pela equação y (x)

– Implícito, em que uma curva é expressa como f (x, y, z) = 0

–Paramétrico, desta forma as coordenadas x, y e z são dadas em função de um parâmetro que, em geral, é escolhido como tempo t. Nesse caso, a trajetória é composta pelas funções: x (t),e T) Y z (t).

Duas trajetórias cinemáticas bem estudadas são detalhadas a seguir: a trajetória parabólica e a trajetória circular.

Lançamento inclinado para o vazio

Um objeto (o projétil) é lançado em um ângulo a com a horizontal e com velocidade inicial v_ou como mostra a imagem. A resistência do ar não é levada em consideração. O movimento pode ser tratado como dois movimentos independentes e simultâneos: um horizontal com velocidade constante e outro vertical sob a ação da gravidade.

x (t) = x_ou + v_boi.t

y (t) = y_ou + v_Ei.t -½g.t²

Essas equações são equações paramétricas lançamento de projéteis. Conforme explicado acima, eles têm o parâmetro comum t, que é o tempo.

O seguinte pode ser visto no triângulo retângulo na figura:

v_boi = v_ou cos θ_Eu

v_Ei = v_ou sen θ_Eu

Substituindo essas equações contendo o ângulo de lançamento nos resultados das equações paramétricas:

x (t) = x_ou + v_ou cos θ_Eu.t

y (t) = y_ou + v_ou. sen θ_Eu.t -½g.t²

Equação do caminho parabólico

A equação explícita do caminho é encontrada resolvendo t da equação para x (t) e substituindo y (t) na equação. Para facilitar o trabalho algébrico, pode-se supor que a origem (0,0) está localizada no ponto de lançamento e, portanto, x_ou = e_ou = 0.

Esta é a equação do caminho em maneira explícita.

Caminho circular

Um caminho circular é dado por:

(x - x_ou)² + (e - e_ou)²= R²

Aqui x_ou e e_ou representam o centro da circunferência descrita pelo móbile e R é seu raio. P (x, y) é um ponto no caminho. A partir do triângulo retângulo sombreado (figura 3), pode-se ver que:

x = R. cos θ

y = R. sin θ

O parâmetro, neste caso, é o ângulo de varredura θ, chamado de deslocamento angular. No caso particular em que a velocidade angular ω (ângulo varrido por unidade de tempo) é constante, pode-se afirmar que:

θ= θ_ou + ωt

Onde θ_ou é a posição angular inicial da partícula, que se tomada como 0, se reduz a:

θ = ωt

Nesse caso, o tempo retorna às equações paramétricas como:

x = R.cos ωt

y = R. sin ωt

Vetores unitários Eu Y j são muito convenientes para escrever a função de posição de um objeto r (t). Eles indicam as direções no eixo x e no eixo Y respectivamente. Em seus termos, a posição de uma partícula que descreve um Movimento Circular Uniforme é:

r (t) = R.cos ωt Eu+ R. sin ωt j

Exercícios resolvidos

Exercício 1 resolvido

Um canhão pode disparar uma bala com velocidade de 200 m / se ângulo de 40º em relação à horizontal. Se o lançamento for em solo plano e a resistência do ar for negligenciada, encontre:

a) A equação do caminho y (x) ..

b) Equações paramétricas x (t) Y y (t).

c) O alcance horizontal e o tempo de duração do projétil no ar.

d) A altura em que o projétil está quando x = 12.000 m

Solução para)

a) Para encontrar a trajetória, os valores dados na equação y (x) da seção anterior são substituídos:

y (x) = tg 40º. x - {9.8/(2 ´ 400². cos²40º)} x² ⇒ y (x) = 0,8391 x - 0,0000522x²

Solução b)

b) O ponto de lançamento é escolhido na origem do sistema de coordenadas (0,0):

x (t) = x_ou + v_boi.t = 400´ cos 40º.t = 306,42. t.

y (t) = y_ou + v_Ei.t -½g.t²=400 ´ sin 40º.t - 0,5 ´ 9.8´t²= 257,12 t - 4,9.t²

Solução c)

c) Para saber o tempo que o projétil dura no ar, faça y (t) = 0, o lançamento sendo feito em terreno plano:

0 = 257,12.t - 4,9.t²

t = 257,12 / 4,9 s = 52,473 s

O alcance horizontal máximo é encontrado substituindo este valor em x (t):

x_max = 306.42´ 52,47 m = 16077,7 m

Outra maneira de encontrar x_max diretamente é fazendo y = 0 na equação do caminho:

0 = 0,8391 x_max - 0,0000522 x²_max

x = 0,8391 / 0,0000522 m = 16078,5 m

Há uma pequena diferença devido ao arredondamento das casas decimais.

Solução d)

d) Para saber a altura quando x = 12000 m, este valor é substituído diretamente na equação do caminho:

e (12000) = 0,8391´ 12000 – 0.0000522´12000²m = 2552,4 m

Exercício resolvido 2

A função de posição de um objeto é dada por:

r (t) = 3t Eu + (4 -5t²) j m

Encontrar:

a) A equação do caminho. Que curva é essa?

b) A posição inicial e a posição quando t = 2 s.

c) O deslocamento realizado após t = 2 s.

Solução

a) A função posição foi dada em termos dos vetores unitários Eu Y j, que respectivamente determinam a direção nos eixos x Y Y, portanto:

x (t) = 3t

e T) = 4 -5t²

A Equação do Caminho y (x) está limpando t de x (t) e substituindo em y (t):

t = x / 3

y (x) = 4 –5. (x / 3)² = 4 - 5x²/ 9 (parábola)

b) A posição inicial é: r (2) = 4 j m ; a posição em t = 2 s isto é r (2) = 6 Eu -16 j m

c) Deslocamento Dr é a subtração dos dois vetores de posição:

Δr = r (2) – r (2) = {6 Eu -16 j}– 4 j = 6 Eu – 20 j m

Exercício resolvido 3

A Terra tem raio R = 6300 km e sabe-se que o período de rotação do seu movimento em torno do seu eixo é de um dia. Encontrar:

a) A equação da trajetória de um ponto na superfície terrestre e sua função de posição.

b) A velocidade e aceleração desse ponto.

Solução para)

a) A função de posição para qualquer ponto em órbita circular é:

r (t) = R.cos ωt Eu+ R.sen ωt j

Temos o raio da Terra R, mas não a velocidade angular ω, porém ela pode ser calculada a partir do período, sabendo que para o movimento circular é válido dizer que:

ω = 2π × frequência = 2π / período

O período do movimento é: 1 dia = 24 horas = 1440 minutos = 86 400 segundos, portanto:

ω = 2π / 86400 s = 0,000023148 s^-1

Substituindo na função de posição:

r (t) = R.cos ωt Eu + R. sin ωt j = 6300 (cos 0,000023148tEu + sen 0,000023148tj) Km

O caminho na forma paramétrica é:

x (t) = 6300. cos 0,000023148t

y (t) = 6300. sin 0,000023148t

Solução b)

b) Para movimento circular, a magnitude da velocidade linear v de um ponto está relacionado à velocidade angular W através:

v = ωR = 0,000023148 s^-1´ 6300 Km = 0,1458 Km / s = 145,8 m / s

Mesmo sendo um movimento com velocidade constante de 145,8 m / s, ocorre uma aceleração que aponta para o centro da órbita circular, responsável por manter o ponto em rotação. É a aceleração centrípeta para_c, dado por:

para_c= v² / R = (145,8 m / s)² / 6300 × 10³m = 0,00337 m / s².

Referências

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