Números ímpares: como distingui-los, exemplos e exercícios - Ciência - 2023

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o números ímpares são aqueles números inteiros que não são divisíveis por 2. Isso significa que com quantidades ímpares você não pode fazer grupos de 2, por exemplo, se alguém tiver 9 doces para compartilhar com um amigo e não quiser dividir nenhum, um terá 4 doces e os outros 5.

Alguns dos números ímpares são os seguintes:… -5, -3, -1, 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13… Nessa expressão, as reticências indicam que há mais números, tanto à esquerda quanto à direita.

Olhando de perto, você pode ver que cada número ímpar pode ser obtido adicionando 2 ao número anterior. Por exemplo, se adicionarmos 2 a -1 obtemos 1, se fizermos 1 + 2 obteremos 3 e assim por diante.

Observa-se também que se os pares forem intercalados, incluindo 0, que é considerado um número par, obtém-se o conjunto de inteiros Z.

Portanto, qualquer número natural ímpar pode ser escrito na forma 2n + 1, onde n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 5 ..., onde o símbolo ± significa que n pode ser considerado positivo ou como negativo.

No caso de números maiores, pode ser reconhecido quando é ímpar, porque sempre termina em 1, 3, 5, 7 ou 9. Por exemplo, 1571 é ímpar e, portanto, é o número inteiro negativo -152.489.

Números ímpares na natureza e na cultura popular

Os números ímpares ocorrem com freqüência na natureza, e entre eles o número 3 é de significado especial. Vejamos alguns exemplos:

-Há muitas flores com um número ímpar de pétalas.

-Temos 5 dedos em cada mão.

-Os seres humanos têm 23 pares de cromossomos.

-Existem 3 leis de Newton e as 3 leis da termodinâmica.

-Os núcleos de átomos que possuem um número ímpar de prótons e nêutrons são menos estáveis do que aqueles com um número par.

-Há 3 três reis.

- Em histórias e contos, o número 3 aparece com frequência, por exemplo, romances como Os três Mosqueteiros por Alexandre Dumas e em contos populares como Os três irmãos Y Os três Porquinhos.

-Para composição artística existe a chamada regra estranha, que afirma que uma composição com um número ímpar de elementos é mais atraente do que uma com um número par. O número ímpar adiciona dinamismo, enquanto um número par adiciona estabilidade.

-Uma estratégia comum para fazer os preços dos itens parecerem mais baratos é fazer com que terminem em 9, digamos $ 2,99, $ 39 e assim por diante.

-O número 13 é considerado azarado por alguns, enquanto outros atribuem qualidades místicas ao 11, ambos números ímpares.

números primos

Os números primos, aqueles que só se admitem como divisores e 1, são ímpares, com exceção do 2, que é o único número primo par.

É possível mostrar que qualquer número pode ser decomposto como produto de fatores primos (incluindo as potências destes), e que esta forma de expressar o número é única, exceto na ordem dos fatores.

Por exemplo, o número 45 pode ser decomposto como 45 = 3³ x 5.

Operações com números ímpares

Com os números ímpares, todas as operações aritméticas são realizadas e algumas têm características salientes.

- Somas e produtos

-A soma de dois números ímpares resulta em um número par: 3 + 5 = 8; 11 + 15 = 26; (-10) + (+6) = - 4.

-Ao adicionar um número ímpar com um número par, o resultado é ímpar: 7 + 2 = 9; 26+ 9 = 35; (-5) + 12 = 7.

-Se o n primeiros números naturais, ímpares e consecutivos, o resultado é n². Vamos examinar isso com mais detalhes:

Para n = 2: 1 + 3 = 4 = 2²

Para n = 3: 1 + 3 + 5 = 9 = 3²

Para n = 4: 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4²

-Quando um ímpar é multiplicado por um par, um número par é criado: 7 x 4 = 28; (-3) x 12 = -36.

-Multiplicando dois números ímpares obtém um ímpar também: 3 x 5 = 15; (-5) x (+11) = -55.

- Poderes

- Quando um número positivo é elevado a uma potência ímpar, resulta um número positivo, por exemplo: 3³= 27.

- Ao elevar um número negativo a uma potência ímpar, o resultado é negativo: (-2)³= (-2) x (-2) x (-2) = -8.

- As potências ímpares de inteiros positivos podem ser alcançadas se os números ímpares forem organizados como mostrado na figura e as linhas forem adicionadas:

Exercícios resolvidos

- Exercício 1

Decida se o resultado da seguinte operação é ímpar ou par:

(53476890083 + 1987628967) x 13567903

Solução

Para obter a resposta, você não precisa correr para encontrar uma calculadora, mas sim aplicar as propriedades vistas. Vejamos os últimos dígitos dos adendos, que são 3 e 7, respectivamente:

53476890083 + 1987628967

Isso significa que os adendos são ímpares e já sabemos que a soma de dois números ímpares é par.

Portanto, o número que resulta dos parênteses é par e vamos multiplicá-lo por um número que termina em 3:

13567903

O que significa que esse número é ímpar.

Nas propriedades descritas acima foi estabelecido que a multiplicação de pares por ímpares resulta em um número par. Portanto, a operação resultante é uniforme.

- Exercício 2

Quanto vale a soma dos primeiros 5 números ímpares consecutivos? E os primeiros 50?

Solução

A soma dos primeiros 5 números ímpares consecutivos é:

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25

Mas se quisermos adicionar os primeiros 50 dessa forma, será complicado, então vamos às propriedades. Eles afirmam que a soma dos números ímpares consecutivos é n². Neste caso, n = 50 e a soma solicitada é:

50² = 50 x 50 = 2500.

- Exercício 3

Quando você soma três números ímpares consecutivos, obtém 237. Quais são os números?

Solução

Chamemos nosso primeiro número ímpar de x, e o segundo ez de terceiro, de acordo com a afirmação de que é verdade que:

x + y + z = 237

Na linguagem algébrica, qualquer número ímpar pode ser escrito na forma 2n +1. Vamos fazer nosso primeiro número ímpar ser:

x = 2n +1

Vamos adicionar 2 para obter a próxima ímpar:

y = x + 2 = (2n + 1) + 2 = 2n + 3

E, finalmente, 2 é adicionado novamente para obter a terceira ímpar:

z = (2n +3) + 2 = 2n + 5

Tudo isso se soma:

2n + 1 + 2n + 3 + 2n + 5 = 237

6n + 9 = 237

O que resulta em uma equação linear simples, cuja solução é:

n = 38

E agora com o valor de n = 38 existem os três números solicitados:

x = (2 × 38) + 1 = 77

Os seguintes são ímpares consecutivos, portanto:

y = 79

z = 81

E o leitor pode verificar facilmente que a soma dos três é 237.

Referências

Baldor, A. 1986. Arithmetic. Codex de edições e distribuições.
Barrios, L. Números ímpares e os poderes dos números naturais. Recuperado de: sinewton.org.
Brilhante. Números pares e ímpares. Recuperado de: brilhante.org.
Matemática 18. Operações com números ímpares. Recuperado de: matematicas18.com.
Wikipedia. Números pares e ímpares. Recuperado de: es.wikipedia.org.