Vetores unitários: características, como obtê-los, exemplos - Ciência - 2023

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o vetores unitários são aqueles cujo módulo, magnitude ou tamanho é igual ao valor numérico um. Os vetores unitários são úteis para indicar a direção de outros vetores não unitários.

Lembre-se de que vetores são entidades matemáticas que representam matematicamente quantidades físicas que dependem da direção, como força, velocidade, aceleração e outros.

Independentemente da magnitude física à qual estão associados, os vetores unitários são desprovidos de unidades de medida e seu tamanho é sempre 1, um número puro.

Por exemplo, a velocidade de uma partícula se movendo a 3 m / se indo na direção positiva do eixo cartesiano X é denotada: v = (3 m / s) Eu, onde o tipo em negrito é usado para denotar as quantidades do vetor. Neste exemplo, o módulo v é 3 m / se o módulo do vetor unitário Eu é 1 (sem unidades).

Módulo, direção e sentido

Dada a importância de estabelecer a orientação dessas grandezas para conhecer seus efeitos, os vetores apresentam três características relevantes: a magnitude ou módulo, associada ao tamanho do vetor, à direção e ao sentido. Ao representar uma grandeza vetorial, é necessário indicar claramente esses aspectos.

Agora, um vetor unitário pode ter qualquer direção e o sentido preferido, mas a magnitude deve ser sempre igual a 1.

Os vetores unitários são usados para indicar uma direção particular no espaço ou no plano. Se, por exemplo, precisamos trabalhar com todas as forças que agem ao longo do eixo horizontal, um vetor unitário nessa direção nos ajuda a distinguir essas forças de outras dirigidas em uma direção diferente.

E para distingui-los de vetores não unitários, o tipo negrito é geralmente usado em letras impressas e um acento circunflexo é colocado no topo, por exemplo:

Características de um vetor unitário

Matematicamente o vetor unitário:

Então podemos estabelecer que:

-O módulo do vetor unitário é sempre 1, não importa se é uma força, velocidade ou outro vetor.

-Os vetores unitários têm uma certa direção, bem como sentido, como o vetor unitário na direção vertical, que pode ter sentido para cima ou para baixo.

-Os vetores da unidade têm um ponto de origem. Quando representado por um sistema de coordenadas cartesianas, este ponto coincide com a origem do sistema: (0,0) se for o plano ou (0,0,0) se o vetor estiver no espaço tridimensional.

-Também com vetores unitários você pode realizar todas as operações de adição, subtração e multiplicação de vetores que são feitas usando vetores regulares. Portanto, é válido multiplicar o vetor unitário por um escalar, bem como realizar o produto pontual e o produto vetorial.

- Com um vetor unitário em uma determinada direção, outros vetores que também são orientados nessa direção podem ser expressos.

Vetores unitários no espaço

Para expressar qualquer vetor no espaço ou no plano, um conjunto de vetores unitários perpendiculares entre si pode ser usado, os quais formam uma base ortonormal. Cada uma das três direções preferenciais do espaço tem seu próprio vetor unitário.

Voltemos ao exemplo das forças direcionadas ao longo do eixo horizontal. Este é o eixo x, que tem duas possibilidades: para a direita e para a esquerda. Suponha que tenhamos um vetor unitário no eixo x e direcionado para a direita, que podemos denotar por qualquer uma das seguintes maneiras:

Qualquer um deles é válido. Agora, suponha que uma força F₁de magnitude 5 N ao longo deste eixo e direcionada para a direita, tal força pode ser expressa como:

Se a força fosse dirigida ao longo do eixo x, mas na direção oposta, ou seja, para a esquerda, então um sinal negativo poderia ser usado para estabelecer essa diferença.

Por exemplo, uma força de magnitude 8 N, localizada no eixo xe direcionada para a esquerda teria a seguinte aparência:

Ou assim:

E para vetores que não são direcionados ao longo dos eixos cartesianos, existe também uma forma de representá-los em termos de vetores unitários ortogonais, por seus componentes cartesianos.

Como obter / calcular o vetor unitário?

Para calcular o vetor unitário na direção de qualquer vetor arbitrário v, a seguinte fórmula se aplica:

Onde:

É o módulo ou magnitude do vetor v, cujo quadrado é calculado assim:

|v|² = (v_x)² + (v_Y)²+ (v_z)²

Um vetor arbitrário em termos de vetor unitário

Alternativamente, o vetor v pode ser expresso assim:

Ou seja, o produto de seu módulo e o vetor unitário correspondente. Isso é exatamente o que foi feito antes, quando falamos sobre a força de magnitude 5 N dirigida ao longo do eixo x positivo.

Representação gráfica

Graficamente, o acima mencionado é visto nesta imagem, onde o vetor v está em azul e o vetor unitário correspondente em sua direção está em vermelho.

Neste exemplo, o vetor v ele tem uma magnitude maior que a do vetor unitário, mas a explicação é válida mesmo que não tenha. Em outras palavras, podemos ter vetores que são, por exemplo, 0,25 vezes o vetor unitário.

Exemplos de vetores unitários

Os vetores unitários perpendiculares i, j e k

Como vimos antes, os vetores unitários perpendiculares Eu, j Y k eles são muito úteis para representar qualquer outro vetor no plano ou espaço e para realizar operações vetoriais. Em termos desses vetores, um vetor arbitrário v é representado como:

v = v_xEu + v_Yj + v_zk

Onde V_x, v_Y e V_z são os componentes retangulares do vetor v, que são escalares - o tipo negrito não é usado para representá-los no texto impresso.

Lei de Coulomb

Vetores de unidades aparecem com frequência na Física. Aí temos a lei de Coulomb, por exemplo, que descreve quantitativamente a interação entre duas cargas elétricas pontuais.

Afirma que a força F A atração ou repulsão entre as referidas cargas é proporcional ao seu produto, inversamente proporcional ao quadrado da distância que as separa e é direcionada na direção do vetor unitário que une as cargas.

Este vetor geralmente é representado por:

E a lei de Coulomb se parece com isto, em forma vetorial:

Exercício resolvido

Encontre o vetor unitário na direção do vetor v = 5Eu + 4j -8k, dado em unidades arbitrárias.

Solução

A definição de vetor unitário dada acima se aplica:

Mas, primeiro, devemos calcular o módulo do vetor, que por ter três componentes, é determinado por:

|v|² = (v_x)² + (v_Y)²+ (v_z)²

Restante:

|v|² = (5)² + (4)²+ (-8)²= 25 + 16 + 64 = 105

Portanto, o módulo v isto é:

|v|=√105

O vetor unitário pesquisado é simplesmente:

O que finalmente nos leva a:

v = 0.488 Eu + 0.390 j – 0.781 k

Referências

Bauer, W. 2011. Physics for Engineering and Sciences. Volume 1. Mc Graw Hill.
Bedford, 2000. A. Engineering Mechanics: Statics. Addison Wesley.
Figueroa, D. (2005). Série: Física para Ciência e Engenharia. Volume 1. Cinemática. Editado por Douglas Figueroa (USB).
Giambattista, A. 2010. Física. 2ª Ed. McGraw Hill.
Resnick, R. (1999). Fisica. Vol. 1. 3ª Ed. Em espanhol. Compañía Editorial Continental S.A. de C.V.