Grau de um polinômio: como determiná-lo, exemplos e exercícios - Ciência - 2023

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o grau de um polinômio no uma variável é dada pelo termo que tem o maior expoente, e se o polinômio tem duas ou mais variáveis, então o grau é determinado pela adição dos expoentes de cada termo, sendo a soma maior o grau do polinômio.

Vamos ver como determinar o grau do polinômio de maneira prática.

Suponha que o polinômio P (x) = -5x + 8x³ + 7 - 4x². Este polinômio é uma variável, neste caso é a variável x. Este polinômio consiste em vários termos, que são os seguintes:

-5x; 8x³; 7; - 4x²

Vamos selecionar entre os quatro termos aquele cujo expoente é maior, este termo é:

8x³

E agora qual é o expoente? A resposta é 3. Portanto, P (x) é um polinômio de grau 3.

Se o polinômio em questão tiver mais de uma variável, o grau pode ser:

-Absoluto

-Em relação a uma variável

O grau absoluto é encontrado conforme explicado no início: somando os expoentes de cada termo e selecionando o maior.

Em vez disso, o grau do polinômio em relação a uma das variáveis ou letras é o maior valor do expoente que essa letra tem. O ponto ficará mais claro com os exemplos e exercícios resolvidos nas seções seguintes.

Exemplos de grau de um polinômio

Os polinômios podem ser classificados por grau e podem ser de primeiro grau, segundo grau, terceiro grau e assim por diante. Para o exemplo da Figura 1, a energia é um monômio de primeiro grau para a massa.

Também é importante notar que o número de termos que um polinômio possui é igual a nota mais 1. Então:

- Polinômios de primeiro grau têm 2 termos: a₁x + a_ou

-O polinômio de segundo grau tem 3 termos: a₂x² + a₁x + a_ou

-Um polinômio de terceiro grau tem 4 termos: a₃x³+ a₂x² + a₁x + a_ou

E assim por diante. O leitor cuidadoso terá notado que os polinômios nos exemplos anteriores são escritos na forma decrescente, isto é, colocar o termo primeiro com o Mais alto grau.

A tabela a seguir mostra vários polinômios, tanto de uma como de várias variáveis e seus respectivos graus absolutos:

Tabela 1. Exemplos de polinômios e seus graus

Polinomial	Grau
3x⁴+ 5x³-2x + 3	4
7x³-2x²+ 3x-6	3
6	0
x-1	1
x⁵-bx⁴+ abx³+ab³x²	6
3x³Y⁵ + 5x²Y⁴ - 7xy² + 6	8

Os dois últimos polinômios têm mais de uma variável. Destes, o termo com maior grau absoluto foi destacado em negrito, para que o leitor possa verificar rapidamente o grau. É importante lembrar que quando a variável não possui um expoente escrito, entende-se que esse expoente é igual a 1.

Por exemplo, no termo em destaque ab³x² existem três variáveis, a saber: para, b Y x. Nesse termo, para é elevado a 1, ou seja:

a = a¹

Portanto ab³x² = a¹b³x²

Como o expoente de b é 3 e o de x é 2, segue-se imediatamente que o grau deste termo é:

1+3+2 = 6

Y é o grau absoluto do polinômio, pois nenhum outro termo possui um grau superior.

Procedimento para trabalhar com polinômios

Ao trabalhar com polinômios, é importante atentar para o seu grau, pois em primeiro lugar e antes de realizar qualquer operação, é conveniente seguir estes passos, nos quais o grau fornece informações muito importantes:

-Ordenar o polinômio de preferência em direção decrescente. Assim, o termo com o grau mais alto fica à esquerda e o termo com o grau mais baixo fica à direita.

-Reduzir termos semelhantes, procedimento que consiste em adicionar algebricamente todos os termos da mesma variável e grau encontrados na expressão.

-Se for preciso, os polinômios se completam, inserindo termos cujo coeficiente é 0, caso faltem termos com expoente.

Ordenar, reduzir e completar um polinômio

Dado o polinômio P (x) = 6x²- 5x⁴- 2x + 3x + 7 + 2x⁵ - 3x³ + x⁷ -12 é solicitado que seja ordenado em ordem decrescente, reduza os termos semelhantes, se houver, e complete os termos ausentes, se necessário.

A primeira coisa a procurar é o termo com o maior expoente, que é o grau do polinômio, que acaba sendo:

x⁷

Portanto P (x) é de grau 7. Então o polinômio é ordenado, começando com este termo à esquerda:

P (x) = x⁷ + 2x⁵- 5x⁴- 3x³ + 6x²- 2x + 3x + 7 -12

Agora os termos semelhantes são reduzidos, que são os seguintes: - 2x e 3x por um lado. E 7 e -12 do outro. Para reduzi-los, os coeficientes são adicionados algebricamente e a variável é deixada inalterada (se a variável não aparecer ao lado do coeficiente, lembre-se de que x⁰ = 1):

-2x + 3x = x

7 -12 = -5

Esses resultados são substituídos em P (x):

P (x) = x⁷ + 2x⁵- 5x⁴- 3x³ + 6x²+ x -5

E, finalmente, o polinômio é examinado para ver se algum expoente está faltando e, de fato, um termo cujo expoente é 6 está faltando, portanto, é completado com zeros como este:

P (x) = x⁷ + 0x⁶ + 2x⁵- 5x⁴- 3x³ + 6x²+ x - 5

Agora observa-se que o polinômio ficou com 8 termos, pois como dito antes, o número de termos é igual a grau + 1.

Importância do grau de um polinômio em adição e subtração

Com polinômios, você pode realizar operações de adição e subtração, nas quais apenas os termos semelhantes são adicionados ou subtraídos, que são aqueles com a mesma variável e o mesmo grau. Se não houver termos semelhantes, a adição ou subtração é simplesmente indicada.

Uma vez realizada a adição ou subtração, sendo esta última a soma do oposto, o grau do polinômio resultante é sempre igual ou menor que o grau do polinômio adicionando o grau mais alto.

Exercícios resolvidos

- Exercício resolvido 1

Encontre a seguinte soma e determine seu grau absoluto:

para³- 8ax²+ x³+ 5a²x - 6ax²- x³+ 3a³- 5 ª²x - x³+ a³+ 14ax²- x³

Solução

É um polinômio com duas variáveis, por isso é conveniente reduzir os termos semelhantes:

para³- 8ax²+ x³+ 5a²x - 6ax²- x³+ 3a³- 5 ª²x - x³+ a³+ 14ax²- x³ =

= a³+ 3a³ + a³ - 8ax²- 6ax²+ 14ax² + 5a²x - 5º²x + x³- x³- x³- x³ =

= 5a³ - 2x³

Ambos os termos são de grau 3 em cada variável. Portanto, o grau absoluto do polinômio é 3.

- Exercício resolvido 2

Expresse a área da figura geométrica plana seguinte como um polinômio (figura 2 à esquerda). Qual é o grau do polinômio resultante?

Solução

Por ser uma área, o polinômio resultante deve ser de grau 2 na variável x. Para determinar uma expressão adequada para a área, a figura é decomposta em áreas conhecidas:

A área de um retângulo e um triângulo são respectivamente: base x altura Y base x altura / 2

PARA₁ = x. 3x = 3x²; PARA₂ = 5. x = 5x; PARA₃ = 5. (2x / 2) = 5x

Nota: a base do triângulo é 3x - x = 2x e sua altura é 5.

Agora as três expressões obtidas são somadas, com isso temos a área da figura em função de x:

3x² + 5x + 5x = 3x² + 10x

Referências

Baldor, A. 1974. Elementary Algebra. Cultural Venezolana S.A.
Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
Wikibooks. Polinômios. Recuperado de: es. wikibooks.org.
Wikipedia. Grau (polinomial). Recuperado de: es.wikipedia.org.
Zill, D. 1984. Algebra and Trigonometry. Mac Graw Hill.