Números negativos: conceito, exemplos, operações - Ciência - 2023

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o números negativos são aqueles à esquerda da reta numérica, sempre precedidos por um sinal -. Por meio de negativos, é possível representar quantidades que estão abaixo ou à esquerda de 0.

Esses números participam ativamente da vida cotidiana: por exemplo, se alguém tem uma dívida de $ 5, mas só pode pagar $ 3, deve $ 2. A dívida é assinalada com um sinal negativo para a distinguir do montante pago.

Posições abaixo do nível do mar, temperaturas abaixo do ponto de congelamento da água e pisos abaixo do nível da rua podem ser denotados por números negativos.

Para que servem os números negativos?

A existência de negativos amplia as operações numéricas possíveis. Vejamos o exemplo da subtração de dois números. Se estes números pertencem ao natural 1, 2, 3, 4, 5 ... a subtração só faz sentido se for feita subtraindo de outro número menor que ele.


O resultado da operação 10 - 7 = 3 é razoável, visto que, em princípio, não podemos tirar mais de uma quantidade do que ela representa.

No entanto, os negativos descreveriam bem essa outra situação: queremos comprar algo no valor de $ 20, mas temos apenas $ 15 e pedimos $ 5 emprestados de um amigo. A dívida, como dissemos, é marcada com um sinal negativo e, portanto, 15 - 20 = -5, que é lido como "menos 5".

O conjunto de inteiros negativos junto com o natural e 0, formam o conjunto mais amplo de inteiros Z.

Mas os negativos também podem ser fracionários ou decimais e pertencer a um conjunto ainda maior: o dos números reais R, que inclui o racional e o irracional.

Com todos eles são realizadas as operações aritméticas conhecidas, tendo o cuidado de operar seguindo algumas regras simples de sinais que são explicadas a seguir.

Operações com números negativos

Antes de realizar operações com números negativos, você deve estabelecer algumas regras simples para lidar com o sinal (-) que deve ser sempre prefixado e a ordem dos números.


Considere a reta numérica mostrada na figura, com os negativos à esquerda de 0 e os positivos à direita.

As setas na reta numérica em ambas as direções indicam que existem números infinitos. Observe também que o conjunto numérico de inteiros é um conjunto ordenado e qualquer número negativo é menor que 0 e qualquer número positivo.

Portanto, -4 é menor que 1 e -540 é menor que 84, por exemplo.

Valor absoluto

A distância entre qualquer número e 0 é chamada valor absoluto. Essa distância é sempre positiva e é denotada por barras verticais, assim:

│-5│= 5

│+√6│= √6

│-3/4│= 3/4

│-10.2│= 10.2

Ou seja, o valor absoluto de qualquer número, seja positivo ou negativo, é o positivo do número. Este conceito nos ajudará mais tarde, ao operar com números negativos.


Placa

Outro detalhe muito importante é a distinção entre o sinal do número e o sinal da operação.

Quando um número é positivo, o sinal do número costuma ser omitido e entende-se que é positivo mesmo assim, mas com negativos isso não é possível, portanto é necessário o uso de parênteses, vejamos:

-Correto: 17 - (–6) ou também +17 - (–6)

-Incorreto: 17 - –6

-Incorreto: -5 + +7

-Correto: - 5 + (+7) ou também -5 + 7

Uma vez que os conceitos de valor absoluto, ordem e importância do sinal negativo estejam claros, podemos passar para as operações elementares.

Soma

Distinguimos os seguintes casos, começando com a soma de dois positivos, cujo procedimento já é muito familiar:

–Adicione dois números positivos: (+ a) + (+ b) = a + b

O que significa que adicionamos como de costume, vamos ver:

(+8) + (+5) = 8 + 5 = 13

–Adicione dois números negativos: (-a) + (-b) = - (a + b)

Neste caso, adicionamos os valores absolutos dos números e o resultado é precedido de um sinal negativo, como este:

(-7) + (-11) = – (7+ 11) = – 18

–Adicione um negativo e um positivo: (+ a) + (-b)

Para esta operação, os valores absolutos são subtraídos e o resultado traz o sinal do número com o maior valor absoluto. Vamos fazer alguns casos:

a) (-16) + (+3)

Os respectivos valores absolutos são 16 e 3, o número com o maior valor absoluto é 16, cujo sinal é negativo, então:

(-16) + (+3) = – (16 – 3) = -13

b) (+8) + (-3) = + (8-3) = +5 = 5

A adição de negativos também é comutativa, o que significa que a ordem dos adendos não é importante para o resultado.

As regras anteriores se aplicam se você deseja adicionar mais de dois números, o que pode ser feito com a propriedade associativa: a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c).

Antes de olhar para um exemplo neste caso, vamos primeiro olhar para a subtração de dois números inteiros.

Subtração

A subtração é definida como a soma do oposto. O oposto de um número a é –a, assim:

-4 é o oposto de + 4

½ é o oposto de -½

Se eles nos pedirem para realizar a subtração de dois números, independentemente do sinal, simplesmente adicionamos o oposto do segundo ao primeiro:

a) (-53) - (+8) = (-53) + (-8) = - (53 + 8) = -61

b) (+7) - (-12) = (+7) + (+12) = 7 + 12 = 19

c) (+2) - (+ π) = (+2) + (-π) = 2 - π

Exemplo

Execute a seguinte operação (+4) + (-7) + (+19)

Nós reescrevemos assim com a ajuda de colchetes para indicar a operação a ser realizada primeiro:

(+4) + (-7) + (+19) = [(+4) + (-7)] + (+19) = [- (4 -7)] + 19 = [- (-3)] + 19 = 19 – (-3) = 19 + (+3) = 22

Multiplicação

A regra dos sinais para multiplicação é resumida na seguinte figura:

Propriedades de multiplicação

 -Commutatividade: a ordem dos fatores não altera o produto, portanto ≠ = b.a onde aeb são números negativos, inteiros ou números fracionários.

–Associatividade: Sejam a, bec inteiros, é verdade que (a.b). c = a. (b.c)

–Distributividade em relação à soma: sejam a, bec inteiros, é válido que a. (b + c) = a.b + a.c

Exemplo

(-3/2) x [(-5) + (+4) - (+2)] = (-3/2) x (-5) + (-3/2) x (+4) + (- 3/2) x (-2) = (15 - 12 + 6) / 2 = 9/2

Você também poderia ter resolvido a operação entre colchetes primeiro e multiplicar o resultado por (-3/2), assim:

(-3/2) x [-5 + 4 - 2] = (-3/2) x (-3) = 9/2

Divisão

A regra dos sinais para divisão é mostrada na figura a seguir:

A divisão não é comutativa e geralmente a ÷ b ≠ b ÷ a, a divisão por 0 não é permitida. Vejamos um exemplo:

(-54) ÷ (+3) = -18

Para obter este resultado, basta fazer o quociente e o sinal é escolhido de acordo com a tabela apresentada na figura, que corresponde à terceira opção de cima para baixo.

Fortalecimento

Empowerment é a operação de forma an, onde a é a base e n é o expoente. A base e o expoente podem ter qualquer sinal.

-Se a base for negativa ou positiva e o expoente for um inteiro par, o resultado da operação é sempre positivo.

-Quando a base é positiva e o expoente é um inteiro ímpar, o resultado é positivo.

-E se a base for negativa e o expoente for um inteiro ímpar, o resultado é negativo.

Os expoentes fracionários são alternativamente expressos como a raiz, por exemplo, uma raiz quadrada é equivalente ao expoente fracionário ½, uma raiz cúbica é equivalente ao expoente 1/3 e assim por diante.

Vejamos alguns exemplos:

a) (-3)3 = (-3) x (-3) x (-3) = -27

b) 16 -1/2 = 1 / √16 = ¼

c) (+8) 1/3 = raiz cúbica de 8 = 2

Referências

  1. Baldor, A. 1986. Arithmetic. Codex de edições e distribuições.
  2. Figuera, J. 2000. Mathematics 7th. Grau. Edições CO-BO.
  3. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
  4. A matemática é divertida. Como adicionar e subtrair números positivos e negativos. Recuperado de: mathisfun.com
  5. Wikipedia. Números negativos. Recuperado de: es.wikipedia.org.