Trinômio quadrado perfeito: como identificá-lo, exemplos, exercícios - Ciência - 2023

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Trinômio quadrado perfeito: como identificá-lo, exemplos, exercícios - Ciência
Trinômio quadrado perfeito: como identificá-lo, exemplos, exercícios - Ciência

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UMA trinômio quadrado perfeito é uma expressão polinomial de três termos, dois dos quais são quadrados perfeitos e o restante é o produto duplo das raízes quadradas dos dois primeiros. Algebricamente, é expresso da seguinte forma:

para2 ± 2ab + b2

Como identificar um trinômio quadrado perfeito?

O símbolo ± indica que o sinal do termo pode ser positivo ou negativo. Para identificar um trinômio quadrado perfeito, as seguintes etapas são seguidas:

-Identifique os termos que são quadrados perfeitos: a2 e B2, ou seja, eles são respectivamente a.a e b.b.

-Obter as raízes quadradas destes termos: a e b

- Verifique se o termo remanescente do trinômio é o duplo produto das duas raízes: 2ab


Exemplo

Vamos ver com um exemplo concreto. Vamos examinar o trinômio x2 + 10x + 25 e siga os passos descritos:

-Os quadrados perfeitos deste trinômio são x2 e 25.

-As respectivas raízes quadradas são xe 5.

-O termo restante é: 10x = 2,5.x

Portanto, o trinômio é um quadrado perfeito.

Agora vamos investigar este outro trinômio: 4a2 - 8a + 9:

-Os quadrados perfeitos são 4a2 e 9.

- Ao extrair as raízes quadradas de ambos, obtêm-se respectivamente 2a e 3. Observe que no termo 4a2 a raiz quadrada do coeficiente numérico também deve ser extraída.

-O produto duplo das duas raízes é construído: 2. 2a. 3 = 12a e verifica-se que não é igual a 8a. Conclui-se que o trinômio proposto não é um quadrado perfeito.

Exemplos

O procedimento descrito pode ser aplicado a vários tipos de trinômios. Os exemplos anteriores se referiam a trinômios em uma variável, "x" ou "a", mas podemos usá-los para verificar se outros trinômios com mais letras são quadrados perfeitos.


Se houver mais de uma letra, verifique se dois dos termos são quadrados perfeitos em ambas as letras, ou seja, possuem raiz quadrada exata. Em seguida, você deve verificar se o termo restante é o duplo produto dessas duas raízes quadradas.

Vejamos alguns exemplos de trinômios quadrados perfeitos variados:

a) 16 + 40x2 + 25x4

b) 49x4Y2 + 14x2e + 1

c) 16x6 - 2x3Y2 + (e4 /16)

d) (m - n)2 + 6 (m-n) + 9

e) 25 + x2Y2 + 10xy

Verifica

Vamos verificar se os trinômios mostrados atendem às condições necessárias para serem trinômios quadrados perfeitos:

a) Os quadrados perfeitos são 16 e 25x4, cujas respectivas raízes são 4 e 5x2. Por sua vez, o termo central é: 2. 4. 5x2 = 40x2.

b) Neste exemplo existem duas letras no primeiro termo, mas verifica-se rapidamente que 49x4Y2 e 1 são quadrados perfeitos de 7x2e e 1 respectivamente. O meio termo é 2,7x2e .1 = 14x2


c) Este trinômio contém duas letras: 16x6 é o quadrado de 4x3, enquanto e4 / 16 é o quadrado de y2 / 4. O outro termo é 2. 4x3. (Y2/ 4) = 2x3Y2

d) Existem dois quadrados perfeitos aqui e não importa se um deles vem entre parênteses: (m - n)2 e 9 são de (m-n) e 3, nessa ordem. O duplo produto de ambos é 2,3. (M-n) = 6 (m - n), confirmando que se trata de um trinômio quadrado perfeito.

e) Os primeiros dois termos são 25 e x2Y2, que são quadrados de 5 e xy. O último termo é 2. 5. xy = 10xy.

Dos exemplos propostos segue-se que a ordem dos termos não altera o fato de ser um trinômio quadrado perfeito.

Normalmente os termos que são quadrados perfeitos ficam nas extremidades e o termo cruzado ou produto duplo das raízes fica no meio, mas não há problema em ordenar o trinômio de forma diferente.

Além disso, deve ser enfatizado que o termo cruzado deve sempre ser verificado, para garantir que se trata de um trinômio quadrado perfeito. Se o termo cruzado não for o produto duplo das raízes, o trinômio não atenderá a esse nome.

Fatoração de trinômios quadrados perfeitos

Às vezes é preferível expressar o trinômio como um produto de dois ou mais fatores. Este procedimento é chamado factoring, e não se aplica apenas a trinômios, mas a várias expressões algébricas.

Acontece que um trinômio quadrado perfeito pode ser expresso como o quadrado de um binômio ou como o produto de dois binômios idênticos. Em outras palavras:

para2 ± 2ab + b2 = (a ± b)2

Se o sinal positivo for usado, o termo à direita é a soma de um quadrado binomial:

para2 + 2ab + b2 = (a + b)2

E ao usar o sinal negativo, teremos o quadrado do binômio da subtração:

para2 + 2ab + b2 = (a - b)2

Aplicando a propriedade distributiva ao binômio (a ± b)2 podemos verificar que, de fato, o desenvolvimento corresponde ao de um trinômio quadrado perfeito. Por exemplo:

(a + b)2 = (a + b). (a + b) = a2 + ab + ba + b2

Uma vez que os dois termos centrais são iguais (a ordem dos fatores não altera o produto), segue-se que:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

A interpretação geométrica pode ser vista na figura a seguir. A área de um quadrado é seu lado ao quadrado, que é (a + b), portanto:

Área = (a + b)2

E a área do quadrado é a soma dos quadrados rosa e azul, mais os dois retângulos roxos. Eles representam a soma deduzida um pouco maior.

Da mesma forma, verifica-se o anterior caso o sinal seja negativo, só agora o referido sinal acompanha o termo central:

(a - b)2 = a2 - 2ab + b2

Regra para fatorar trinômios quadrados perfeitos

As respectivas raízes quadradas são extraídas e separadas de acordo com o sinal do termo remanescente. O binômio assim formado é quadrado e a fatoração está pronta.

Exemplo de fatoração

Vamos fatorar o trinômio dado como exemplo no início. A obra está quase pronta, pois conhecemos as raízes e já verificamos que se trata de um trinômio quadrado perfeito, portanto:

x2 + 10x + 25 = (x + 5)2

Exercícios

Verifique se os seguintes trinômios são trinômios quadrados perfeitos. Nesse caso, considere-os.

a) a8 + 18a4 + 81

b) 9y2 - 30x2e + 25x2

c) 36 + 16n2 + n4

Solução

a) Primeiro procuramos os termos que podem ser quadrados perfeitos e imediatamente descartamos 18a4 já que 18 não é um quadrado perfeito. Mas8 e 81 são quadrados perfeitos de um4 e 9, resta apenas verificar que 18a4 é o duplo produto desses dois: 2. a4 . 9 = 18a4.

Finalmente, a fatoração buscada é um8 + 18a4 + 81 = (a4 + 9)2.

b) Os quadrados perfeitos são 9y2 e 25x4, cujas raízes quadradas são respectivamente: 3y e 5x2. É corroborado que 2,5x2.3y = 30x2.

Este trinômio é fatorado como:

9 anos2 - 30x2e + 25x4 = (3y - 5x2)2

c) Os três termos deste trinômio são todos quadrados perfeitos de outro:

36 = 62

16n2 = (4n)2

n4 = (n2)2

Mas não é possível obter nenhum deles por meio do duplo produto das raízes dos outros. Portanto, não é um trinômio quadrado perfeito.

Referências

  1. Baldor, A. 1974. Algebra. Cultural Venezolana S.A.
  2. Carena, M. 2019. Pre-University Mathematics Manual. Universidade Nacional do Litoral.
  3. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
  4. Méndez, A. 2009. Matemática I. Editorial Santillana.
  5. Zill, D. 1984. Algebra and Trigonometry. McGraw Hill.