Curtose: definição, tipos, fórmulas, para que serve, exemplo - Ciência - 2023

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o curtose ou curtose É um parâmetro estatístico que serve para caracterizar a distribuição de probabilidade de uma variável aleatória, indicando o grau de concentração dos valores em torno da medida central. Isso também é conhecido como "grau de pico".

O termo vem do grego "kurtos" que significa arqueado, portanto a curtose indica o grau de pontamento ou achatamento da distribuição, conforme pode ser visto na figura a seguir:

Quase todos os valores de uma variável aleatória tendem a se agrupar em torno de um valor central, como a média. Mas em algumas distribuições, os valores são mais dispersos do que em outras, resultando em curvas mais planas ou finas.

Definição

A curtose é um valor numérico típico de cada distribuição de frequência, que, de acordo com a concentração dos valores em torno da média, são classificados em três grupos:

–Leptocúrtico: em que os valores estão altamente agrupados em torno da média, de modo que a distribuição parece bastante pontiaguda e esguia (figura 1, esquerda).

–Mesocúrtico: tem uma concentração moderada de valores em torno da média (figura 1 no centro).

–Platicúrtica: Essa distribuição tem um formato mais amplo, pois os valores tendem a ser mais dispersos (figura 1 à direita).

Fórmulas e equações

A curtose pode ter qualquer valor, sem limitações. Seu cálculo é realizado em função da forma como os dados são entregues. A notação usada em cada caso é a seguinte:

-Coeficiente de curtose: g₂

-Média aritmética: X ou x com barra

-Um i-ésimo valor: x_Eu

-Desvio padrão: σ

-O número de dados: N

-A frequência do i-ésimo valor: F_Eu

- Marca da classe: mx_Eu

Com esta notação, apresentamos algumas das fórmulas mais utilizadas para encontrar curtose:

- Curtose de acordo com a apresentação dos dados

Dados não agrupados ou agrupados em frequências

Dados agrupados em intervalos

Excesso de curtose

Tambem chamando Coeficiente de apontamento de Fisher ou Medida de Fisher, serve para comparar a distribuição em estudo com a distribuição normal.

Quando o excesso de curtose é 0, estamos na presença de uma distribuição normal ou sino gaussiano. Desta forma, sempre que o excesso de curtose de uma distribuição é calculado, estamos na verdade comparando-o com a distribuição normal.

Para os dados desagrupados e agrupados, o coeficiente de apontamento de Fisher, denotado por K, é:

K = g₂– 3

Agora, pode ser mostrado que a curtose da distribuição normal é 3, portanto, se o coeficiente de direcionamento de Fisher for 0 ou próximo a 0 e houver uma distribuição mesocúrtica. Se K> 0 a distribuição é leptocúrtica e se K <0 é platicúrtica.

Para que serve a curtose?

Curtose é uma medida de variabilidade usada para caracterizar a morfologia de uma distribuição. Desta forma, as distribuições simétricas podem ser comparadas com a mesma média e dispersão igual (dada pelo desvio padrão).

Ter medidas de variabilidade garante que as médias sejam confiáveis e ajuda a controlar variações na distribuição. Como exemplo, vamos analisar essas duas situações.

Os salários de 3 departamentos

Suponha que o gráfico a seguir mostre as distribuições de salários de 3 departamentos da mesma empresa:

A curva A é a mais fina de todas, e de sua forma pode-se inferir que a maioria dos salários daquele departamento está muito próxima da média, portanto a maioria dos funcionários recebe remuneração semelhante.

Por sua vez, no departamento B, a curva de salários segue uma distribuição normal, uma vez que a curva é mesocúrtica, na qual supomos que os salários foram distribuídos aleatoriamente.

E por fim temos a curva C que está bem plana, sinal de que nesse departamento a faixa salarial é bem mais ampla do que nos demais.

Os resultados de um exame

Agora suponha que as três curvas na Figura 2 representem os resultados de um exame aplicado a três grupos de alunos da mesma disciplina.

O grupo cujas avaliações são representadas pela curva leptocúrtica A é bastante homogêneo, a maioria obteve uma avaliação média ou próxima.

Também é possível que o resultado se deva ao fato de as questões do teste terem mais ou menos o mesmo grau de dificuldade.

Por outro lado, os resultados do grupo C indicam uma maior heterogeneidade do grupo, que provavelmente contém alunos médios, alguns alunos mais avançados e certamente alguns menos atentos.

Ou pode significar que as questões do teste têm graus de dificuldade muito diferentes.

A curva B é mesocúrtica, indicando que os resultados do teste seguiram uma distribuição normal. Este é geralmente o caso mais frequente.

Exemplo trabalhado de curtose

Encontre o coeficiente de pontuação de Fisher para as seguintes notas, obtido em um exame de Física para um grupo de alunos, com uma escala de 1 a 10:

5, 5, 4, 7, 7,7, 9, 8, 9, 4, 3

Solução

A seguinte expressão será usada para dados desagrupados, fornecidos nas seções anteriores:

K = g₂ – 3

Este valor permite saber o tipo de distribuição.

Para calcular g₂É conveniente fazê-lo de forma ordenada, passo a passo, uma vez que várias operações aritméticas precisam ser resolvidas.

Passo 1

Primeiro, a média das notas é calculada. Existem N = 11 dados.

X = (5 + 5 + 4 + 7 + 7 + 7 + 9 + 8 + 9 + 4 + 3) / 11 = 6,182

Passo 2

O desvio padrão é encontrado, para o qual esta equação é usada:

σ = 1.992

Ou você também pode construir uma tabela, que também é necessária para a próxima etapa e na qual cada termo das somas que serão necessárias é escrito, começando com (x_Eu - X), então (x_Eu - X)²e então (x_Eu - X)⁴:

etapa 3

Faça a soma indicada no numerador da fórmula de g₂. Para isso, utiliza-se o resultado da coluna direita da tabela anterior:

∑ (x_Eu - X)⁴= 290.15

Portanto:

g₂ = (1/11) x 290,15 / 1.992⁴ = 1.675

O coeficiente de apontamento de Fisher é:

K = g₂ – 3 = 1.675 – 3 = -1.325

O que interessa é o sinal do resultado, que, sendo negativo, corresponde a uma distribuição platicúrtica, que pode ser interpretada como foi feito no exemplo anterior: possivelmente é um curso heterogêneo com alunos de diferentes graus de interesse ou as questões do exame foram de diferentes níveis de dificuldade.

O uso de uma planilha como o Excel facilita muito a resolução desses tipos de problemas e também oferece a opção de representar graficamente a distribuição.

Referências

Levin, R. 1988. Statistics for Administrators. 2ª Edição. Prentice Hall.
Marco, F. Curtosis. Recuperado de: economipedia.com.
Oliva, J. Asymmetry and kurtosis. Recuperado de: statisticaucv.files.wordpress.com.
Spurr, W. 1982. Decision Making in Management. Limusa.
Wikipedia. Curtose. Recuperado de: en.wikipedia.org.