Plano cartesiano: elementos, exemplos e exercícios resolvidos - Ciência - 2023

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o Plano cartesiano Consiste em um par de linhas perpendiculares entre si e que se cruzam em um ponto. Uma das linhas é vertical e a outra horizontal, tomando o ponto de intersecção como origem do sistema.

O objetivo é localizar facilmente qualquer ponto plano usando um par de valores: as coordenadas. Para isso, uma escala com inteiros é construída em cada uma das linhas, os positivos são escritos em uma direção e os negativos na outra, conforme mostrado na figura a seguir:

Por convenção, o eixo horizontal é denominado eixo x e o eixo vertical é denominado eixo y.

Qualquer ponto no plano terá coordenadas especificadas por um par ordenado (x, y). Por exemplo, o ponto P das coordenadas (3,4), localizado 3 unidades à direita da origem e 4 unidades acima, na figura acima. É semelhante a um mapa, indicando a latitude e longitude de um determinado local.


Uma vez que duas coordenadas são necessárias, o plano é dito ser bidimensional, mas o conceito é facilmente estendido para três dimensões adicionando mais um eixo de coordenadas, normalmente denotado como eixo z. Neste caso, as coordenadas assumem a forma (X e Z).

O plano cartesiano recebe o nome do cientista francês René Descartes (1596-1650), que o formalizou em sua obra. Discurso sobre o método de 1637, embora haja antecedentes nas obras de Apolônio de Perga (262-190 aC), o matemático que descobriu as curvas cônicas: circunferência, elipse, parábola e hipérbole.

Elementos do plano cartesiano

Os elementos do plano cartesiano são os seguintes:

-As linhas numéricas ou eixos de coordenadas x e y, se for o avião. O eixo Y é chamado de eixo da ordenada, enquanto o eixo x é o eixo das abcissas. Quando se trata de espaço, o eixo é adicionado z, capaz de representar altura e profundidade.


-O origem, que é o ponto de intersecção dos eixos.

-O quadrantes, que são as regiões que os eixos de coordenadas determinam no plano e são contadas no sentido anti-horário, começando com o primeiro quadrante. Eles estão definidos da seguinte forma:

  • Primeiro quadrante: eixos x e Y positivo.
  • Segundo quadrante: corresponde ao eixo x negativo e ao eixo y positivo.
  • Terceiro quadrante: tem dois eixos negativos.
  • Quarto quadrante: com o eixo x positivo e o eixo y negativo.

Os quadrantes são geralmente indicados em algarismos romanos, como este:

Pares ordenados e distância entre dois pontos

Os pares ordenados são as coordenadas de cada ponto, em que a coordenada x é sempre colocada em primeiro lugar, como no exemplo da Figura 1. As coordenadas (3,4) do ponto P indicam que x = 3 Y y = 4.


Nesta outra figura abaixo, o ponto P pertence ao quarto quadrante e possui coordenadas (2, −1,5). Observe que as linhas projetadas dos eixos de coordenadas para o ponto P formam um retângulo. Esta é a razão pela qual as coordenadas cartesianas também são chamadas coordenadas retangulares.

Agora vamos ver como determinar a distância d entre dois pontos do plano, considerando dois deles, chamados P1 E P2, cujas coordenadas são (x1, Y1) e (x2, Y2), respectivamente. A distância entre os pontos é o comprimento da hipotenusa do triângulo retângulo que se forma e as pernas são os segmentos determinados por e2 - Y1 e x2-x1, portanto:

d2 = (x2-x1)2 + (e2 - Y1)2

Aplicações do plano cartesiano

O plano cartesiano tem muitas aplicações em muitos campos. Inicialmente, Descartes o introduziu nas equações gráficas das curvas no plano, razão pela qual é considerado o pai da geometria analítica.

No entanto, seu uso é estendido para representar graficamente todos os tipos de relacionamentos e funções, como:

-Siga a trajetória de um corpo com movimento parabólico, circular ou curvilíneo em geral.

-Determina graficamente a forma como duas variáveis ​​se relacionam através de uma função.

-Localize pontos em terreno plano para facilitar as medições sobre eles.

Dessa forma, o plano cartesiano se torna a principal ferramenta que vincula a Álgebra à Geometria.

Exercícios resolvidos

Exercício 1

A figura a seguir mostra os pontos A, B, C, D e E no plano cartesiano. Ele pergunta:

a) Determine as coordenadas de cada ponto e o quadrante a que pertencem.

b) Encontre as distâncias entre: i) A e E, ii) A e C e iii) B e D

Solução para

A largura da grade é 1, com isso em mente as coordenadas de cada ponto são: A (-5,3) no segundo quadrante, B (6,2) primeiro quadrante, C (0, −3) no eixo e negativo, D (-6, -2) terceiro quadrante e E (5, -2) no quarto quadrante.

Solução b

As distâncias necessárias são obtidas por meio da fórmula de distância:


Exercício 2

Um satélite orbita a Lua de acordo com o gráfico a seguir, no qual o centro lunar ocupa a origem do sistema de coordenadas. A órbita é elíptica e as distâncias estão em megametros (mm), onde 1 mm = 1 x 106 m. A elipse que descreve o satélite tem a equação:

a) Qual é a menor distância que o satélite pode estar do centro da Lua? E a maior distância?

b) Dois dos pontos da órbita têm altura igual a 2. Quais são as coordenadas x desses pontos?

Solução para

A menor distância entre o satélite e o centro da Lua ocorre quando ele está no ponto das coordenadas (-2,0) Mm e a maior quando está no ponto (8,0) Mm. Portanto, a menor distância entre o satélite e a origem é 2 Mm (as distâncias são sempre positivas, mesmo que as posições sejam negativas) e a maior é 8 Mm.

Solução b

Todos os pontos que pertencem à elipse satisfazem a equação:

Se a altura dos pontos for igual a 2, significa que y = 2. Substituir este valor na equação da elipse é:

(x-3)2 = 75/4 → x-3 = ± √ (75/4) = ± (√75) / 2

x = [± (√75) / 2] +3

Como o símbolo ± (mais / menos) está presente, significa que as duas possibilidades devem ser levadas em consideração:

x1 = [(√75) / 2] +3 = 7,33 Mm

x2 = [- (√75) / 2] +3 = −1,33 Mm

Referências

  1. Alexander, D. 2013. Geometria. 5 ª. Edição. Cengage Learning.
  2. Larson, R. 2012. Precalculus. 8º. Edição. Cengage Learning.
  3. Matemática é Fun. Coordenadas cartesianas. Recuperado de: mathsisfun.com/data/cartesian-coordinates.
  4. Stewart, J. 2007. Precalculus: Mathematics for Calculus. 5 ª. Edição. Cengage Learning.
  5. O plano cartesiano. Recuperado de: dl.uncw.edu.