Velocidade instantânea: definição, fórmula, cálculo e exercícios - Ciência - 2023

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o velocidade instantânea é definido como a mudança instantânea do deslocamento no tempo. É um conceito que adiciona grande precisão ao estudo do movimento. E é um avanço em relação à velocidade média, cujas informações são muito gerais.

Para obter a velocidade instantânea, vamos examinar o menor intervalo de tempo possível. O cálculo diferencial é a ferramenta perfeita para expressar essa ideia matematicamente.

O ponto de partida é a velocidade média:

Este limite é conhecido como derivado. Na notação de cálculo diferencial, temos:

Desde que o movimento seja restrito a uma linha reta, a notação vetorial pode ser dispensada.

Cálculo da velocidade instantânea: interpretação geométrica

A figura a seguir mostra a interpretação geométrica do conceito de derivada: é a inclinação da reta tangente para a curva x (t) vs. t em cada ponto.

Você pode imaginar como obter o limite se aproximar o ponto Q aos poucos do ponto P. Chegará um momento em que os dois pontos estarão tão próximos que você não conseguirá distinguir um do outro.

A linha que os une passará de secante (linha que corta em dois pontos) a tangente (linha que toca a curva em apenas um ponto). Portanto, para encontrar a velocidade instantânea de uma partícula em movimento, devemos ter:

O gráfico da posição da partícula em função do tempo. Encontrando a inclinação da reta tangente à curva em cada instante de tempo, temos a velocidade instantânea em cada ponto que a partícula ocupa.

O bem:

A função de posição da partícula x (t), que é derivado para obter a função de velocidade v (t), então esta função é avaliada a cada vez t, a sua conveniência. A função de posição é considerada diferenciável.

Alguns casos especiais no cálculo da velocidade instantânea

-A inclinação da linha tangente à curva em P é 0. Uma inclinação zero significa que o móvel está parado e que sua velocidade é, claro, 0.

-A inclinação da linha tangente à curva em P é maior que 0. A velocidade é positiva. No gráfico acima, significa que o celular está se afastando de O.

-A inclinação da linha tangente à curva em P é menor que 0. A velocidade seria negativa. No gráfico acima, esses pontos não existem, mas, neste caso, a partícula estaria se aproximando de O.

-A inclinação da linha tangente à curva é constante em P e em todos os outros pontos. Neste caso, o gráfico é uma linha reta e o celular tem movimento de linha uniforme MRU (sua velocidade é constante).

Em geral, a função v (t) é também uma função do tempo, que por sua vez pode ter uma derivada. E se não fosse possível encontrar as derivadas das funções x (t) Y v (t)?

Em caso de x (t) pode ser que a inclinação - a velocidade instantânea - mude de sinal abruptamente. Ou que iria de zero para um valor diferente imediatamente.

Se sim, o gráfico x (t) apresentaria pontos ou cantos nos locais de mudanças repentinas. Muito diferente do caso representado na imagem anterior, em que a curva x (t) É uma curva suave, sem pontos, cantos, descontinuidades ou mudanças abruptas.

A verdade é que para móbiles reais, as curvas suaves são as que melhor representam o comportamento do objeto.

O movimento em geral é bastante complexo. Os móbiles podem ser parados por um tempo, acelerar do repouso para ter uma velocidade e se afastar do ponto inicial, manter a velocidade por um tempo, então frear para parar novamente e assim por diante.

Novamente, eles podem começar de novo e continuar na mesma direção. Opere o reverso e retorne. Isso é chamado de movimento variado em uma dimensão.

Aqui estão alguns exemplos de cálculo da velocidade instantânea para esclarecer o uso das definições fornecidas:

Exercícios resolvidos de velocidade instantânea

Exercício 1

Uma partícula se move ao longo de uma linha reta com a seguinte lei do movimento:

x (t) = -t³ + 2 t² + 6 t - 10

Todas as unidades estão no Sistema Internacional. Encontrar:

a) A posição da partícula em t = 3 segundos.

b) A velocidade média no intervalo entre t = 0 se t = 3 s.

c) A velocidade média no intervalo entre t = 0 se t = 3 s.

d) A velocidade instantânea da partícula da questão anterior, em t = 1 s.

Respostas

a) Para encontrar a posição da partícula, a lei do movimento (função posição) é avaliada em t = 3:

x (3) = (-4/3) .3³ + 2. 3²₊6,3 - 10 m = -10 m

Não há problema em que a posição seja negativa. O sinal (-) indica que a partícula está à esquerda da origem O.

b) No cálculo da velocidade média, são necessárias as posições final e inicial da partícula nos tempos indicados: x (3) e x (0). A posição em t = 3 é x (3) e é conhecida pelo resultado anterior. A posição em t = 0 segundos é x (0) = -10 m.

Como a posição final é igual à posição inicial, conclui-se imediatamente que a velocidade média é 0.

c) A velocidade média é a relação entre a distância percorrida e o tempo gasto. Agora, a distância é o módulo ou magnitude do deslocamento, portanto:

distância = | x2 - x1 | = | -10 - (-10) | m = 20 m

Observe que a distância percorrida é sempre positiva.

v_{m = 20 m / 3 s = 6,7 m / s}

d) Aqui é necessário encontrar a primeira derivada da posição em relação ao tempo. Em seguida, é avaliado por t = 1 segundo.

x ’(t) = -4 t² + 4 t + 6

x '(1) = -4,1²+ 4,1 + 6 m / s = 6 m / s

Exercício 2

Abaixo está o gráfico da posição de um celular em função do tempo. Encontre a velocidade instantânea em t = 2 segundos.

Resposta

Desenhe a linha tangente à curva em t = 2 segundos e, em seguida, encontre sua inclinação, tomando quaisquer dois pontos da linha.

Neste exemplo vamos tomar dois pontos de fácil visualização, cujas coordenadas são (2 s, 10 m) e o corte com o eixo vertical (0 s, 7 m):

Referências

Giancoli, D. Physics. Princípios com aplicativos. 6^º Edição. Prentice Hall. 22-25.
Resnick, R. (1999). Fisica. Volume 1. Terceira edição em espanhol. México. Compañía Editorial Continental S.A. de C.V. 21-22.
Serway, R., Jewett, J. (2008). Física para Ciência e Engenharia. Volume 1. 7^mãe. Edição. México. Editores do Cengage Learning. 23-25.