Hipercubo: definição, dimensões, coordenadas, desdobramento - Ciência - 2023

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UMA hipercubo é um cubo de dimensão n. O caso particular do hipercubo quadridimensional é chamado tesserato. Um hipercubo ou n-cubo consiste em segmentos retos, todos de igual comprimento que são ortogonais em seus vértices.

Os seres humanos percebem o espaço tridimensional: largura, altura e profundidade, mas não nos é possível visualizar um hipercubo com dimensão maior que 3.

No máximo podemos fazer projeções dele no espaço tridimensional para representá-lo, de forma semelhante à forma como projetamos um cubo em um plano para representá-lo.

Na dimensão 0, a única figura é o ponto, portanto, um cubo 0 é um ponto. Um cubo 1 é um segmento reto, que é formado pelo movimento de um ponto em uma direção uma distância a.

Por sua vez, um 2-cubo é um quadrado. É construído deslocando o cubo 1 (o segmento de comprimento a) na direção y, que é ortogonal à direção x, uma distância a.

O cubo 3 é o cubo comum. É construído a partir do quadrado, movendo-o na terceira direção (z), que é ortogonal às direções xey, uma distância para.

O 4-cubo é o tesserato, que é construído a partir de um 3-cubo, deslocando-o ortogonalmente, a uma distância para, em direção a uma quarta dimensão (ou quarta direção), que não podemos perceber.

Um tesserato tem todos os seus ângulos retos, tem 16 vértices e todas as suas arestas (18 no total) têm o mesmo comprimento para.

Se o comprimento das arestas de um n-cubo ou hipercubo de dimensão n é 1, então é um hipercubo unitário, no qual a diagonal mais longa mede √n.

Quais são as dimensões?

Dimensões são os graus de liberdade ou as possíveis direções nas quais um objeto pode viajar.

Na dimensão 0 não há possibilidade de translação e o único objeto geométrico possível é o ponto.

Uma dimensão no espaço euclidiano é representada por uma linha ou eixo orientado que define essa dimensão, chamada de eixo X. A separação entre dois pontos A e B é a distância euclidiana:

d = √ [(x_para - x_b)²].

Em duas dimensões, o espaço é representado por duas linhas ortogonais uma à outra, chamadas de eixo X e eixo Y.

A posição de qualquer ponto neste espaço bidimensional é dada por seu par de coordenadas cartesianas (x, y) e a distância entre quaisquer dois pontos A e B será:

d = √ [(x_para - x_b)² + (e_para - Y_b)²]

Porque é um espaço onde a geometria de Euclides se realiza.

Espaço tridimensional

O espaço tridimensional é o espaço no qual nos movemos. Possui três direções: largura, altura e profundidade.

Numa sala vazia os cantos perpendiculares dão essas três direções e a cada uma podemos associar um eixo: X, Y, Z.

Este espaço também é euclidiano e a distância entre os dois pontos A e B é calculada da seguinte forma:

d = √ [(x_para - x_b)² + (e_para - Y_b)² + (z_para - z_b)²]

Os seres humanos não podem perceber mais do que três dimensões espaciais (ou euclidianas).

No entanto, de um ponto de vista estritamente matemático, é possível definir um espaço euclidiano n-dimensional.

Neste espaço, um ponto possui coordenadas: (x1, x2, x3,… .., xn) e a distância entre dois pontos é:

d = √ [(x_1ª - x_{1 B})² + (x_2ª - x_2b)² +… .. + (x_{n / D} - x_nb)²].

A quarta dimensão e tempo

Na verdade, na teoria da relatividade, o tempo é tratado como mais uma dimensão e uma coordenada é associada a ela.

Mas é preciso esclarecer que essa coordenada associada ao tempo é um número imaginário. Portanto, a separação de dois pontos ou eventos no espaço-tempo não é euclidiana, mas sim segue a métrica de Lorentz.

Um hipercubo quadridimensional (o tesserato) não vive no espaço-tempo, ele pertence a um hiperespaço euclidiano quadridimensional.

As coordenadas de um hipercubo

As coordenadas dos vértices de um cubo n centrado na origem são obtidas fazendo todas as permutações possíveis da seguinte expressão:

(a / 2) (± 1, ± 1, ± 1,…., ± 1)

Onde a é o comprimento da borda.

-O volume de um n-cubo de aresta a é: (a / 2)ⁿ (2ⁿ) = aⁿ.

-O diagonal mais longa é a distância entre vértices opostos.

-A seguir são vértices opostos em um quadrado: (-1, -1) e (+1, +1).

-E em um Cubo: (-1, -1, -1) e (+1, +1, +1).

-O diagonal mais longa de um n-cubo mede:

d = √ [1 - (- 1))² + …..+ (1 -(-1))²] = √ [n 2²] = 2√n

Nesse caso, o lado foi considerado a = 2. Para um n-cubo de lado a qualquer será:

d = a√n.

-Um tesseract tem cada um de seus 16 vértices conectados a quatro arestas. A figura a seguir mostra como os vértices são conectados em um tesseract.

Desdobramento de um hipercubo

Uma figura geométrica regular, por exemplo um poliedro, pode ser desdobrada em várias figuras de menor dimensionalidade.

No caso de um cubo 2 (um quadrado), ele pode ser desdobrado em quatro segmentos, ou seja, quatro cubos 1.

Da mesma forma, um 3-cubo pode ser desdobrado em seis 2-cubos.

Um 4 cubos (tesseract) pode ser desdobrado em oito 3 cubos.

A animação a seguir mostra o desdobramento de um tesserato.

Referências

Cultura científica. Hipercubo, visualizando a quarta dimensão. Recuperado de: culturacientifica.com
Epsilons. Hipercubo ou tesserato quadridimensional. Recuperado de: epsilones.com
Perez R, Aguilera A. Um método para obter um tesseract a partir do desenvolvimento de um hipercubo (4D). Recuperado de: researchgate.net
Wikibooks. Matemática, poliedros, hipercubos. Recuperado de: es.wikibooks.org
Wikipedia. Hipercubo. Recuperado de: en.wikipedia.com
Wikipedia. Tesseract. Recuperado de: en.wikipedia.com