Análise de malha: conceitos, métodos, exemplos - Ciência - 2023

Contente

• Termos importantes
• Métodos
• - Passos para aplicar a análise de malha
• Passo 1
• Passo 2
• Malha abcda
• Malha Cefdc
• etapa 3
• Exercícios resolvidos
• - Exemplo 1
• Solução
• Solução de sistema pelo método de Cramer
• Etapa 1: Calcular Δ
•  Etapa 2: Calcular Δ₁
• Etapa 3: Calcule I₁
• Etapa 4: Calcular Δ₂
• 
• - Exemplo 2
• Solução
•  Malha 2
• Malha 3
• Sistema de equações
• Tabela de correntes e tensões em cada resistência
• Solução de regra de Cramer
• Cálculo de I₁
• Cálculo de I₂
• Cálculo de I3
• Referências

o análise de malha é uma técnica usada para resolver circuitos elétricos planos. Este procedimento também pode aparecer na literatura sob os nomes dos métodos do correntes de circuito ou método de correntes de malha (ou loop).

A base deste e de outros métodos de análise de circuito elétrico está nas leis de Kirchhoff e na lei de Ohm. As leis de Kirchhoff, por sua vez, são expressões de dois princípios de conservação muito importantes em Física para sistemas isolados: tanto a carga elétrica quanto a energia são conservadas.

Por um lado, a carga elétrica está relacionada à corrente, que é a carga em movimento, enquanto em um circuito a energia está ligada à tensão, que é o agente encarregado de fazer o trabalho necessário para manter a carga em movimento.

Essas leis, aplicadas a um circuito plano, geram um conjunto de equações simultâneas que devem ser resolvidas para obter os valores de corrente ou tensão.

O sistema de equações pode ser resolvido com técnicas analíticas familiares, como regra de cramer, que requer o cálculo dos determinantes para obter a solução do sistema.

Dependendo do número de equações, elas são resolvidas usando uma calculadora científica ou algum software matemático. Na rede também existem muitas opções disponíveis.

Termos importantes

Antes de explicar como funciona, vamos começar definindo estes termos:

Ramo: seção que contém um elemento do circuito.

Nó: ponto que conecta dois ou mais ramos.

Gravata: é qualquer parte fechada de um circuito, que começa e termina no mesmo nó.

Malha: loop que não contém nenhum outro loop dentro (malha essencial).

Métodos

A análise de malha é um método geral utilizado para resolver circuitos cujos elementos estão conectados em série, em paralelo ou de forma mista, ou seja, quando o tipo de conexão não é claramente distinguido. O circuito deve ser plano, ou pelo menos deve ser possível redesenhar como tal.

Um exemplo de cada tipo de circuito é mostrado na figura acima. Uma vez que o ponto esteja claro, para começar, aplicaremos o método a um circuito simples como um exemplo na próxima seção, mas primeiro revisaremos brevemente as leis de Ohm e Kirchhoff.

Lei de Ohm: estar V a voltagem, R resistência e Eu a corrente do elemento resistivo ôhmico, em que a tensão e a corrente são diretamente proporcionais, sendo a resistência a constante de proporcionalidade:

V = I.R

Lei da Voltagem de Kirchhoff (LKV): Em qualquer caminho fechado percorrido em apenas uma direção, a soma algébrica das tensões é zero. Isso inclui tensões devido a fontes, resistores, indutores ou capacitores: ∑ E = ∑ R_Eu. Eu

Lei da Corrente de Kirchhoff (LKC): em qualquer nó, a soma algébrica das correntes é zero, levando em consideração que as correntes de entrada recebem um sinal e as que saem de outro. Desta forma: ∑ I = 0.

Com o método das correntes de malha não é necessário aplicar a lei atual de Kirchhoff, resultando em menos equações para resolver.

- Passos para aplicar a análise de malha

Começaremos explicando o método para um circuito de 2 malhas. O procedimento pode então ser estendido para circuitos maiores.

Passo 1

Atribuir e desenhar correntes independentes para cada malha, neste exemplo, elas são Eu₁ e Eu₂. Eles podem ser desenhados no sentido horário ou anti-horário.

Passo 2

Aplique a Lei das Tensões de Kirchhoff (LTK) e a lei de Ohm a cada malha. As descidas em potencial recebem um sinal (-), enquanto as subidas recebem um sinal (+).

Malha abcda

Partindo do ponto a e seguindo a direção da corrente, encontramos um aumento potencial na bateria E1 (+), depois uma queda em R₁ (-) e então outra queda em R₃ (-).

Simultaneamente, a resistência R₃ é percorrido também pela corrente I₂, mas na direção oposta, portanto, representa um aumento (+). A primeira equação se parece com isto:

E₁-R₁.EU₁ –R₃.EU₁ + R₃.EU₂ = 0

Em seguida, é fatorado e os termos são reagrupados:

- (R₁+ R₃) EU₁ + R₃Eu₂ = -E₁  (Equação 1)

Malha Cefdc

Começando do ponto e e seguindo a direção da corrente, uma queda potencial é encontrada em R₂ (-), outra queda em E₂, uma vez que a corrente entra pelo pólo + da bateria e finalmente outra queda R₃ (-), ao mesmo tempo, o atual Eu₁ atravessa R₃ na direção oposta (+).

A segunda equação, com os sinais indicados, tem a seguinte aparência:

- R₂ Eu₂ - E₂ –R₃ Eu₂ + R₃ Eu₁=0

R₃Eu₁ - (R₂ + R₃₎ Eu₂ = E₂  (Equação 2)

Observe que existem duas equações com as duas incógnitas I₁ e eu₂.

etapa 3

O sistema de equações assim formado é então resolvido.

Exercícios resolvidos

Para começar, é importante considerar o seguinte:

-Correntes de loop ou de malha podem ser atribuídas a um endereço arbitrário.

-Cada malha essencial - ou “janela” - que o circuito possui deve ser atribuída uma corrente.

-As correntes da malha são marcadas com maiúscula para distingui-las das correntes que circulam por meio de ramais, embora em alguns casos a corrente que circula por meio de ramal possa ser a mesma da malha.

- Exemplo 1

Encontre as correntes que fluem através de cada resistor no circuito da figura 3, se os elementos tiverem os seguintes valores:

R₁ = 20 Ω; R₂ = 30 Ω; R₃ = 10 Ω; E₁ = 12 V; E₂ = 18 V

Solução

Antes de tudo é necessário atribuir as correntes de malha I₁ e eu₂ e tomar o sistema de equações conforme deduzido na seção anterior, em seguida, substitua os valores dados na declaração:

- (R₁+ R₃) EU₁ + R₃Eu₂ = -E₁  (Equação 1)

R₃Eu₁ - (R₂ + R₃₎ Eu₂ = E₂     (Equação 2)

-----

-(20+30) Eu₁ + 10I₂ = -12

10I₁ - (30 +10) I₂ = 18      

-----

-50Eu₁ + 10I₂ = -12

10I₁ - 40 I₂ = 18      

Como é um sistema de equações 2 x 2, pode ser facilmente resolvido por redução, multiplicando a segunda equação por 5 para eliminar a incógnita Eu₁:

-50Eu₁ + 10 I₂ = -12

50I₁ - 200 I₂ = 90

-----     

-190 eu₂=78

Eu₂ = - 78/180 A = - 0,41 A

Imediatamente a corrente limpa Eu₁ de qualquer uma das equações originais:

Eu₁ = (18 + 40 I₂) / 10 = (18 + 40 x (-0,41)) / 10 = 0,16 A

O sinal negativo na corrente Eu₂ Isso significa que a corrente na malha 2 circula na direção oposta à desenhada.

As correntes em cada resistor são as seguintes:

Pela resistência R₁ a corrente circula Eu₁ = 0,16 A no sentido desenhado, pela resistência R₂ a corrente circula Eu₂ = 0,41 A na direção oposta à desenhada, e por resistência R₃ circular Eu₃ = 0,16- (-0,41) A = 0,57 A para baixo.

Solução de sistema pelo método de Cramer

Na forma de matriz, o sistema pode ser resolvido da seguinte forma:

Etapa 1: Calcular Δ

 Etapa 2: Calcular Δ₁

A primeira coluna é substituída pelos termos independentes do sistema de equações, mantendo a ordem em que o sistema foi originalmente proposto:

Etapa 3: Calcule I₁

Eu₁ = Δ₁/ Δ = 300/1900 = 0,16 A

Etapa 4: Calcular Δ₂

Eu₂ = Δ₂/ Δ = -780/1900 = -0,41 A

- Exemplo 2

Determine a corrente e as tensões através de cada resistor no seguinte circuito, usando o método de correntes de malha:

Solução

As três correntes de malha são desenhadas, conforme mostrado na figura a seguir, em direções arbitrárias. Agora as malhas são percorridas a partir de qualquer ponto:

Malha 1

-9100.I₁+ 18-2200.I₁+ 9100.I₂=0

-11300 I₁ + 9100.I₂ = -18

 Malha 2

- (7500 + 6800 + 9100) .I₂ + 9100.I₁+ 6800.I₃-18 = 0

9100.I₁ - 23400.I₂ + 6800.I₃ = 18

Malha 3

 - (6800 + 3300) I₃ + 6800.I₂ – 3 =0

6800.I₂ - 10100.I₃ = 3

Sistema de equações

-11300 I₁ + 9100.I₂ + 0.I₃= -18

9100.I₁ - 23400.I₂ + 6800.I₃ = 18

0.I₁ + 6800.I₂ - 10100.I₃ = 3

Embora os números sejam grandes, ele é resolvido rapidamente com a ajuda de uma calculadora científica. Lembre-se que as equações devem ser ordenadas e adicionar zeros nos locais onde a incógnita não aparece, como aparece aqui.

As correntes de malha são:

Eu₁ = 0,0012 A; Eu₂ = -0,00048 A; Eu₃ = -0.00062 A

Correntes Eu₂ e Eu₃ circulam na direção oposta à mostrada na figura, pois se revelaram negativos.

Tabela de correntes e tensões em cada resistência

Solução de regra de Cramer

Como são números grandes, é conveniente usar notação científica para trabalhar diretamente com eles.

Cálculo de I₁

As setas coloridas no determinante 3 x 3 indicam como encontrar os valores numéricos, multiplicando os valores indicados. Vamos começar obtendo aqueles do primeiro colchete no determinante Δ:

(-11300) x (-23400) x (-10100) = -2,67 x 10¹²

9100 x 0 x 0 = 0

9100 x 6800 x 0 = 0

Imediatamente obtemos o segundo colchete nesse mesmo determinante, que é trabalhado da esquerda para a direita (para este colchete as setas coloridas não foram desenhadas na figura). Convidamos o leitor a verificar:

0 x (-23400) x 0 = 0

9100 x 9100 x (-10100) = -8,364 x 10¹¹

6800 x 6800 x (-11300) = -5,225 x 10¹¹

Da mesma forma, o leitor também pode verificar os valores para o determinanteΔ₁.

Importante: entre os dois colchetes sempre há um sinal negativo.

Finalmente você consegue o atual Eu₁ através Eu₁ = Δ₁ / Δ

 Eu₁ = -1,582 x 10⁹/-1,31 x 10¹² = 0,0012 A

Cálculo de I₂

O procedimento pode ser repetido para calcular Eu₂, neste caso, para calcular o determinante Δ₂ a segunda coluna do determinante Δ é substituída pela coluna dos termos independentes e seu valor é encontrado, conforme procedimento explicado.

No entanto, como é complicado devido aos grandes números, especialmente se você não tiver uma calculadora científica, a coisa mais fácil a fazer é substituir o valor de Eu₁ já calculado, na seguinte equação e claro:

-11300 I₁ + 9100.I₂ + 0.I₃= -18 → 9100 I₂= -18 + 11300 I₁ → eu₂ = -0.00048 A

Cálculo de I3

Uma vez com os valores de Eu₁ e Eu₂ na mão, a de Eu₃ ele é encontrado diretamente por substituição.

Referências

1. Alexander, C. 2006. Fundamentals of Electrical Circuits. 3º Edição. Mc Graw Hill.
2. Boylestad, R. 2011. Introduction to Circuit Analysis.2da. Edição. Pearson.
3. Figueroa, D. (2005). Série: Física para Ciência e Engenharia. Volume 5. Interação elétrica. Editado por Douglas Figueroa (USB).
4. García, L. 2014. Electromagnetism. 2ª Edição. Universidade Industrial de Santander.
5. Sears, Zemansky. 2016. Física Universitária com Física Moderna. 14º. Ed. Volume 2.