Critérios de separabilidade: o que são, para que servem e regras - Ciência - 2023

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Os Ccritérios de divisibilidade eles são argumentos teóricos usados para determinar se um número inteiro é divisível por outro número inteiro. Como as divisões devem ser exatas, esse critério se aplica apenas ao conjunto de inteiros Z. Por exemplo, a figura 123 é divisível por três, de acordo com o critério de divisibilidade de 3, que será especificado posteriormente.

Uma divisão é dita exata se seu resto for igual a zero, sendo o resto o valor diferencial obtido no método tradicional de divisão manual. Se o resto for diferente de zero, a divisão é imprecisa e o número resultante deve ser expresso com valores decimais.

Para que servem os critérios de divisibilidade?

Sua maior utilidade é estabelecida antes de uma divisão manual tradicional, onde é necessário saber se um número inteiro será obtido após a realização da referida divisão.

Eles são comuns na obtenção de raízes pelo método Ruffini e outros procedimentos de factoring. Esta é uma ferramenta popular para alunos que, por razões pedagógicas, ainda não têm permissão para usar calculadoras ou ferramentas de cálculo digital.

Regras mais comuns

Existem critérios de divisibilidade para muitos números inteiros, que são usados principalmente para trabalhar com números primos. No entanto, eles também podem ser aplicados com outros tipos de números. Alguns desses critérios são definidos a seguir.

Critério de divisibilidade de um "1"

Não há critério de divisibilidade específico para o número um. Só é necessário estabelecer que todo inteiro é divisível por um. Isso ocorre porque todo número multiplicado por um permanece inalterado.

Critério de divisibilidade dos dois "2"

Afirma-se que um número é divisível por dois se seu último dígito ou número referente às unidades for zero ou par.

Os seguintes exemplos são observados:

234: É divisível por 2 porque termina em 4, que é um número par.

2035: Não é divisível por 2, pois 5 não é par.

1200: É divisível por 2 porque seu último dígito é zero.

Critério de divisibilidade de três "3"

Um dígito será divisível por três se a soma de seus dígitos separados for igual a um múltiplo de três.

123: É divisível por três, uma vez que a soma de seus termos 1 + 2 + 3 = 6 = 3 x 2

451: Não é divisível por 3, o que se verifica verificando que 4 + 5 +1 = 10, não é múltiplo de três.

Critério de divisibilidade de quatro "4"

Para determinar se um número é múltiplo de quatro, você precisa verificar se os dois últimos dígitos são 00 ou um número múltiplo de quatro.

3822: Observando seus dois últimos números "22", detalha-se que eles não são múltiplos de quatro, portanto, o número não é divisível por 4.

644: Sabemos que 44 = 4 x 11, então 644 é divisível por quatro.

3200: Como seus últimos valores são 00, conclui-se que o valor é divisível por quatro.

Critério de divisibilidade de cinco "5"

É bastante intuitivo que o critério de divisibilidade de cinco seja que seu último dígito seja igual a cinco ou zero. Já na tabela dos cinco observa-se que todos os resultados terminam com um desses dois números.

350, 155 e 1605 são, de acordo com este critério, números divisíveis por cinco.

Critério de divisibilidade dos seis "6"

Para que um número seja divisível por seis, deve ser verdade que ele é divisível ao mesmo tempo entre 2 e 3. Isso faz sentido, uma vez que a decomposição de 6 é igual a 2 × 3.

Para verificar a divisibilidade por seis, os critérios de 2 e 3 são analisados separadamente.

468: Ao terminar em um número par, ele atende ao critério de divisibilidade por 2. Adicionando separadamente os dígitos que compõem a figura, obtemos 4 + 6 + 8 = 18 = 3 x 6. O critério de divisibilidade de 3 é atendido. Portanto, 468 é divisível por seis.

622: Seu número par correspondente às unidades indica que é divisível por 2. Mas ao somar seus dígitos separadamente 6 + 2 + 2 = 10, que não é um múltiplo de 3. Desta forma, verifica-se que 622 não é divisível por seis .

Critério de separabilidade dos sete "7"

Para este critério, o número completo deve ser separado em 2 partes; unidades e o restante do número. O critério de divisibilidade por sete será que a subtração entre o número sem as unidades e o dobro das unidades seja igual a zero ou múltiplo de sete.

Isso é melhor compreendido por exemplos.

133: O número sem os uns é 13 e o dobro dos uns é 3 × 2 = 6. Desta forma, a subtração é realizada. 13 - 6 = 7 = 7 × 1. Isso garante que 133 seja divisível por 7.

8435: Subtração de 843 - 10 = 833. Notando que 833 ainda é muito grande para determinar a divisibilidade, o processo é aplicado mais uma vez. 83 - 6 = 77 = 7 x 11. Assim, 8435 é divisível por sete.

Oito critério de divisibilidade "8"

Deve ser verdade que os últimos três dígitos do número são 000 ou um múltiplo de 8.

3456 e 73000 são divisíveis por oito.

Critério de divisibilidade dos nove "9"

Semelhante ao critério de divisibilidade de três, deve-se verificar que a soma de seus dígitos separados é igual a um múltiplo de nove.

3438: Quando a soma é feita, obtemos 3 + 4 + 3 + 8 = 18 = 9 x 2. Assim, verifica-se que 3438 é divisível por nove.

1451: Somando os dígitos separadamente, 1 + 4 + 5 + 1 = 11. Como não é múltiplo de nove, verifica-se que 1451 não é divisível por nove.

Critério de divisibilidade de dez "10"

Apenas os números que terminam em zero serão divisíveis por dez.

20, 1000 e 2030 são divisíveis por dez.

Critério de divisibilidade de onze "11"

Este é um dos mais complexos, porém trabalhar em ordem garante fácil verificação. Para que uma figura seja divisível por onze, deve-se satisfazer que a soma dos dígitos na posição par, menos, a soma dos dígitos na posição ímpar seja igual a zero ou um múltiplo de onze.

39,369: A soma dos números pares será 9 + 6 = 15. E a soma das figuras em posição ímpar é 3 + 3 + 9 = 15. Desta forma, ao subtrair 15 - 15 = 0, verifica-se que 39.369 é divisível por onze.

Referências

Critérios de divisibilidade. N. N. Vorobyov. University of Chicago Press, 1980
Teoria Elementar dos Números em Nove Capítulos. James J. Tattersall. Cambridge University Press, 14 de outubro 1999
História da Teoria dos Números: Divisibilidade e primalidade. Leonard Eugene Dickson. Chelsea Pub. Co., 1971
Divisibilidade por 2 poderes de certos números de classe quadráticos. Peter Stevenhagen. Universidade de Amsterdã, Departamento de Matemática e Ciência da Computação, 1991
Aritmética elementar. Enzo R. Gentile. Secretaria-Geral da Organização dos Estados Americanos, Programa Regional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico, 1985