Equação geral da parábola (exemplos e exercícios) - Ciência - 2023

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o equação geral da parábola contém termos quadráticos em x e em Y, bem como termos lineares em ambas as variáveis mais um termo independente. O eixo de simetria do primeiro é paralelo ao eixo vertical e o do segundo é paralelo ao eixo horizontal.

Em geral, a equação quadrática sem o termo cruzado xy é escrito como:

Machado² + Cy²+ Dx + Ey + F = 0

Os valores de A, C, D, E e F são números reais. Impondo as condições A ∙ C = 0 e A + C ≠ 0, a curva que resulta da representação gráfica dos pontos que satisfazem esta equação é uma parábola.

Caso 1

Para uma parábola vertical, sua equação geral é:

Machado² + Dx + Ey + F = 0

Onde A e E são diferentes de 0. Em outras palavras, quando um termo aparece com x², a parábola é vertical.

Caso 2

Já para a parábola horizontal temos:

Cy² + Dx + Ey + F = 0

Aqui C e D também são diferentes de 0, portanto, o termo quadrático corresponde a y².

Em qualquer caso, a equação geral da parábola é quadrática em uma das variáveis e linear na outra.

Elementos da parábola

A parábola, definida como um locus, consiste no conjunto de pontos de um plano que são equidistantes de outro ponto denominado foco e também uma linha, conhecida como diretriz.

Partindo da equação geral, é possível estudar a parábola especificando seus elementos. Incluindo o foco e a linha diretiva, esses elementos, descritos resumidamente, são:

–Eixo, que se refere ao eixo de simetria da parábola, pode ser horizontal (paralelo ao eixo das abcissas) ou vertical (paralelo ao eixo das ordenadas).

–Orientação, que por sua vez corresponde à orientação do eixo. A parábola é vertical se seu eixo de simetria é vertical e é horizontal quando o eixo também é.

–Vértice, é o ponto em que o eixo intercepta a parábola.

–Foco, ponto localizado no eixo, dentro da parábola e à distância p do vértice. Todos os pontos da parábola são equidistantes do foco e da linha diretiva.

–Parâmetro, é a distância p entre o foco e o vértice.

–Diretriz direta, que é perpendicular ao eixo e também é uma distância p do vértice da parábola, mas não o cruza, pois está do lado de fora.

–Lado reto, é a corda que passa pelo foco, cruzando a parábola em dois pontos, perpendiculares ao seu eixo.

–Excentricidade, que no caso da parábola é sempre 1.

–Representação gráfica.

As informações para determinar todos esses elementos estão contidas na equação geral.

A forma canônica

Para determinar os elementos da parábola, às vezes é conveniente ir da forma geral para a forma canônica da parábola, usando o método de completar quadrados na variável quadrática.

Esta forma canônica é:

(x-h)² = 4p (y - k)

Onde o ponto (h, k) é o vértice V da parábola. A forma canônica também pode ser convertida para a equação geral, desenvolvendo o produto notável e reorganizando os termos.

Exemplos

Exemplo 1

A seguir estão as equações da parábola na forma geral:

a) 4x² + 5y - 3 = 0

b) 1 - 2y + 3x –y² = 0

Em a) os coeficientes são identificados: A = 4, C = 0, D = 0, E = 5, F = -3. É uma parábola cujo eixo de simetria é vertical.

Por sua vez, em b) a equação geral é:

- Y² + 3x - 2y + 1 = 0

E os coeficientes são: C = –1, D = 3, E = -2 e F = 1.

Exemplo 2

A seguinte parábola está na forma canônica:

(y - 1)² = 6 (x - 3)

Para encontrar sua equação geral, primeiro desenvolva o produto notável e coloque os parênteses à direita:

Y² –2y + 1 = 6x –18

Agora todos os termos são passados para a esquerda e convenientemente agrupados:

Y² –2y + 1– 6x +18 = 0 → y² - 6x –2y + 19 = 0

Como o termo quadrático é y² é uma parábola horizontal. Os coeficientes são:

C = 1; D = -6; E = –2, F = 19.

Exercícios resolvidos

Exercício 1

A seguinte parábola é dada de forma geral:

x² –10x - 12a - 11 = 0

Solicita-se que seja escrito na forma canônica.

Solução

A passagem para a forma canônica se dá por meio do preenchimento de quadrados, neste caso, na variável x. Começamos escrevendo os termos em x entre parênteses:

(x² –10x) –12y - 11 = 0

Você tem que transformar o que está entre parênteses em um trinômio quadrado perfeito, que é obtido adicionando 5², que naturalmente tem que ser subtraído, caso contrário a expressão é alterada. Se parece com isso:

(x² -10x + 5²) −12y - 11−5²= 0

Os três termos entre parênteses constituem o trinômio quadrado perfeito (x-5)². Isso pode ser verificado desenvolvendo este produto notável para corroboração. Agora a parábola permanece:

(x - 5)² –12y –36 = 0

O seguinte é fatorar os termos fora dos parênteses:

(x - 5)² –12 (e +3) = 0

Que é finalmente transformado em:

(x - 5)² = 12 (e +3)

Exemplo 2

Encontre os elementos da parábola anterior e construa seu gráfico.

Solução

Vértice

O vértice da parábola tem coordenadas V (5, -3)

Eixo

A linha x = 5.

Parâmetro

Em relação ao valor do parâmetro p que aparece na forma canônica: (x - h)² = 4p (y - k) é encontrado comparando as duas equações:

4p = 12

p = 12/4 = 3

Orientação

Esta parábola é vertical e abre para cima. Como o vértice está localizado em x = 5, y = -3, o eixo de simetria é a linha vertical x = 5.

Foco

O foco está na linha x = 5, portanto, também possui uma coordenada x = 5.

A coordenada Y O foco deve estar p unidades acima de k, ou seja: p + k = 3 + (-3) = 0, então o foco está no ponto (5,0).

Diretriz direta

É perpendicular ao eixo, pois está da forma y = c, agora, por estar a uma distância p do vértice, mas fora da parábola, significa que está a uma distância p abaixo de k:

y = k - p = -3-3 = -6

Lado reto

Este segmento corta a parábola, passa pelo foco e é paralelo à reta diretriz, portanto está contido na reta y = 0.

Representação gráfica

Ele pode ser facilmente obtido de um software gráfico gratuito online como o Geogebra. Na caixa de entrada, ele é colocado assim:

Referências

Baldor. 1977. Elementary Algebra. Edições culturais venezuelanas.
Hoffman, J. Selection of Mathematics Topics. Volume 2.
Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
Stewart, J. 2006. Precalculus: Mathematics for Calculus. 5 ª. Edição. Cengage Learning.
Zill, D. 1984. Algebra and Trigonometry. McGraw Hill.