Vetor resultante: cálculo, exemplos, exercícios - Ciência - 2023

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o vetor resultante é aquela obtida por meio de uma operação com vetores cujo resultado também é um vetor. Normalmente esta operação é a soma de dois ou mais vetores, por meio dos quais se obtém um vetor cujo efeito é equivalente.

Desta forma, vetores como velocidade, aceleração ou força resultantes são obtidos. Por exemplo, quando várias forças atuam em um corpo F₁, F₂, F₃,…. a soma vetorial de todas essas forças é igual à força resultante (a resultante), que é matematicamente expressa da seguinte forma:

F₁ + F₂ + F₃ +… = F_R ou F_N

O vetor resultante, sejam forças ou qualquer outra magnitude vetorial, é encontrado aplicando-se as regras de adição vetorial. Como os vetores têm direção e sentido além de valor numérico, não basta somar os módulos para ter o vetor resultante.

Isso é verdade apenas no caso em que os vetores envolvidos estão na mesma direção (ver exemplos). Caso contrário, é necessário utilizar métodos de soma vetorial, que dependendo do caso podem ser geométricos ou analíticos.

Exemplos

Os métodos geométricos para encontrar o vetor resultante são o método transversal e o método do paralelogramo.

Quanto aos métodos analíticos, existe o método dos componentes, pelo qual se pode encontrar o vetor resultante de qualquer sistema de vetores, desde que tenhamos seus componentes cartesianos.

Métodos geométricos para adicionar dois vetores

Suponha que os vetores ou Y v (Nós os denotamos em negrito para distingui-los dos escalares). Na figura 2a), nós os temos localizados no plano. Na figura 2 b) ele foi transferido para o vetor v de tal forma que sua origem coincide com o final de ou. O vetor resultante vai da origem do primeiro (ou) até o fim do último (v):

A figura resultante, neste caso, é um triângulo (um triângulo é um polígono de três lados). Se tivermos dois vetores na mesma direção, o procedimento é o mesmo: coloque um dos vetores após o outro e desenhe aquele que vai da origem ou cauda do primeiro até a ponta ou final do último.

Observe que a ordem em que esse procedimento é feito não importa, pois a soma dos vetores é comutativa.

Observe também que, neste caso, o módulo (o comprimento ou tamanho) do vetor resultante é a soma dos módulos dos vetores adicionados, ao contrário do caso anterior, em que o módulo do vetor resultante é menor que a soma dos módulos dos participantes.

Método de paralelogramo

Este método é muito apropriado quando você precisa adicionar dois vetores cujos pontos de origem coincidem, digamos, com a origem de um sistema de coordenadas x-y. Suponha que este seja o caso de nossos vetores ou Y v (figura 3a):

Na figura 3b) um paralelogramo foi construído com a ajuda de linhas pontilhadas paralelas a ou já v. O vetor resultante tem sua origem em O e sua extremidade no ponto onde as linhas pontilhadas se cruzam. Este procedimento é completamente equivalente ao descrito na seção anterior.

Exercícios

-Exercício 1

Dados os vetores a seguir, encontre o vetor resultante usando o método transversal.

Solução

O método transversal é o primeiro dos métodos vistos. Lembre-se que a soma dos vetores é comutativa (a ordem dos adendos não altera a soma), então você pode começar com qualquer um dos vetores, por exemplo ou (figura 5a) ou r (figura 5b):

A figura obtida é um polígono e o vetor resultante (em azul) é denominado R. Se você começar com outro vetor, a forma formada pode ser diferente, como mostrado no exemplo, mas o vetor resultante é o mesmo.

Exercício 2

Na figura a seguir sabe-se que os módulos dos vetores ou Y v respectivamente, são u = 3 unidades arbitrárias ev = 1,8 unidades arbitrárias. O ângulo que ou forma com o eixo x positivo é 45º, enquanto v forma 60º com o eixo y, conforme mostrado na figura. Encontre o vetor, a magnitude e a direção resultantes.

Solução

Na seção anterior, o vetor resultante foi encontrado aplicando-se o método do paralelogramo (em turquesa na figura).

Uma maneira fácil de encontrar o vetor resultante analiticamente é expressar os vetores adendos em termos de seus componentes cartesianos, o que é fácil quando o módulo e o ângulo são conhecidos, como os vetores neste exemplo:

ou_x = u. cos 45º = 3 x cos 45º = 2,12; ou_Y = u. sen 45º = 3x sen 45º = 2,12

v_x = v. sen 60º = 1,8 x sen 60º = 1,56; v_Y = -v. cos 60º = -1,8 x cos 60º = - 0,9

Vetores ou Y v são vetores pertencentes ao plano, tendo, portanto, dois componentes cada. O vetor u está no primeiro quadrante e seus componentes são positivos, enquanto o vetor v está no quarto quadrante; seu componente x é positivo, mas sua projeção no eixo vertical cai sobre o eixo y negativo.

Cálculo dos componentes cartesianos do vetor resultante

O vetor resultante é encontrado adicionando algebricamente os respectivos componentes x e y, para obter seus componentes cartesianos:

R_x = 2.12 + 1.56 = 3.68

R_Y = 2.12 + (-0.9) = 1.22

Uma vez que os componentes cartesianos foram especificados, o vetor é totalmente conhecido. O vetor resultante pode ser expresso com a notação entre colchetes (suspensórios):

R = <3,68; 1,22> unidades arbitrárias

A notação com colchetes é usada para distinguir um vetor de um ponto no plano (ou no espaço). Outra maneira de expressar o vetor resultante analiticamente é usando os vetores unitários Eu e j no avião (Eu, j Y k No espaço):

R = 3.68 Eu + 1.22 j unidades arbitrárias

Uma vez que ambos os componentes do vetor resultante são positivos, o vetor R pertence ao primeiro quadrante, que já havia sido visto graficamente antes.

Magnitude e direção do vetor resultante

Conhecendo os componentes cartesianos, a magnitude de R é calculada através do teorema de Pitágoras, uma vez que o vetor resultante R, junto com seus componentes R_x e R_Y formar um triângulo retângulo:

Magnitude ou módulo: R = (3,68² + 1.22²)^½ = 3.88

Direção q tomando o eixo x positivo como referência: q = arctan (R_Y / R_x) = arctg (1,22 / 3,68) = 18,3 º

Referências

Adicionando vetores e regras. Obtido em: newt.phys.unsw.edu.au
Figueroa, D. Série: Física para Ciências e Engenharia. Volume 1. Cinemática. 31-68.
Fisica. Módulo 8: Vetores. Recuperado de: frtl.utn.edu.ar
Hibbeler, R. 2006. Mechanics for Engineers. Estático. 6ª Edição. Editora Continental. 15-53.
Calculadora de adição de vetor. Obtido em: www.1728.org