Função exponencial: propriedades, exemplos, exercícios - Ciência - 2023

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o função exponencial É uma função matemática de grande importância devido às inúmeras aplicações que possui. É definido da seguinte forma:

f (x) = b^x, com b> 0 e b ≠ 1

Onde b é uma constante real sempre positiva e diferente de 1, que é conhecida como base. Observe que a variável real x se encontra no expoente, desta forma f (x) é sempre um número real.

Exemplos de funções exponenciais são os seguintes:

-f (x) = 2^x

-g (x) = 5⋅e^-3x

-h (x) = 4⋅ (10^2x)

São funções que crescem - ou diminuem, conforme o sinal do expoente - muito rapidamente, por isso falamos em "crescimento exponencial" quando alguma magnitude aumenta muito rapidamente. É por isso que são adequados para modelar o crescimento de seres vivos, como bactérias.

Outra aplicação muito interessante é a dos juros compostos. Quanto mais dinheiro você tiver em uma conta, mais juros acumulam, e o mesmo pode ser calculado a cada certo intervalo de tempo, por menor que seja.

Com a ajuda da função logarítmica, que é o inverso da função exponencial, é possível saber depois de quanto tempo um determinado capital sobe para um determinado valor.

Propriedades da função exponencial

A seguir estão as propriedades gerais de qualquer função exponencial:

-O gráfico de qualquer função exponencial sempre cruza o eixo vertical no ponto (0,1), como pode ser visto na figura 2. Isso se deve ao fato de b⁰ = 1 para qualquer valor de b.

-A função exponencial não intercepta o eixo x, na verdade este eixo é uma assíntota horizontal para a função.

-Desde b¹ = b, o ponto (1, b) sempre pertence ao gráfico da função.

-O domínio da função exponencial é constituído pelo conjunto de números reais ef (x) = b^x é contínuo em todo o seu domínio.

-O intervalo da função exponencial são todos os números reais maiores que 0, que também são vistos no gráfico.

-A função exponencial é um para um, ou seja, cada valor de x pertencente ao domínio da função possui uma imagem única no conjunto de chegada.

-O inverso do exponencial é a função logarítmica.

Propriedades particulares da função exponencial

Como já dissemos, a função exponencial pode ser crescente ou decrescente.

Se o gráfico da figura 2 for estudado com cuidado, observa-se que se b> 1, a função está aumentando, por exemplo y = 3^x, mas no caso de y = (1/3)^x, com b <1, a função diminui.

Em seguida, temos dois tipos de funções exponenciais com as seguintes propriedades particulares:

Para b> 1

-A função está sempre aumentando.

- Quando o valor de b aumenta, a função cresce mais rápido, por exemplo y = 10^x cresce mais rápido do que y = 2^x.

–Quando a variável é maior que 0, a função adquire valores maiores que 1, ou seja:

Para x> 0: y> 1

-Y se x <0, então f (x) <1.

Para b <1

-A função está sempre diminuindo.

-Quando você diminui o valor de b, a função diminui ainda mais rápido. Por exemplo y = (1/5)^x diminui mais rápido do que y = (1/3)^x.

-Para valores de x menores que 0, a função assume valores maiores que 1, ou seja:

Para x <0: y> 1

-Finalmente, quando x> 0, então y <1.

Exemplos de funções exponenciais

A função exponencial é muito útil para modelar fenômenos em ciência e economia, como veremos a seguir:

Função exponencial natural

É a função cuja base é o número e ou número de Euler, um número irracional cujo valor é:

e = 2,718181828 ...

Esta base, embora não seja um número redondo, funciona muito bem para muitas aplicações. Portanto, é considerada a base mais importante de todas as funções exponenciais. A função exponencial natural é expressa matematicamente como:

f (x) = e^x

A função exponencial aparece frequentemente em Probabilidade e Estatística, uma vez que várias distribuições de probabilidade, como a distribuição normal, a distribuição de Poisson e outras, podem ser expressas por meio de funções exponenciais.

Juros compostos continuamente

Também é chamado composição contínua. Para saber a quantidade de dinheiro PARA que você tem depois t anos, a expressão exponencial é usada:

A (t) = P ⋅ e^rt

Onde P é a quantidade de dinheiro originalmente depositada, r é a taxa de juros por ano e finalmentet é o número de anos.

Crescimento de bactérias

As bactérias crescem exponencialmente, então o crescimento pode ser modelado por:

N (t) = N_ou ⋅ e ^kt

Onde N (t) é a população existente após o tempo t (quase sempre em horas), N_ou é a população inicial ek é uma constante que depende do tipo de bactéria e das condições em que é cultivada, por exemplo, os nutrientes disponíveis.

Decaimento radioativo

Certos núcleos na natureza são instáveis, então decaem para se tornarem mais estáveis, um processo que pode ser muito curto ou levar milhares de anos, dependendo do isótopo. Durante o decaimento radioativo, partículas e às vezes fótons são emitidos.

Alguns isótopos radioativos têm aplicações médicas, por exemplo o iodo radioativo I-131, que é usado por médicos no diagnóstico e tratamento de certas doenças da tireóide.

O decaimento radioativo é modelado por uma função exponencial.

Exercícios resolvidos

As equações nas quais o desconhecido aparece como expoente são chamadas de equações exponenciais. Para resolver o valor da incógnita, diferentes manipulações algébricas são usadas e a função logaritmo é usada, que é a função inversa do exponencial.

Vejamos alguns exercícios resolvidos que ilustram esse ponto.

- Exercício 1

Resolva as seguintes equações exponenciais:

a 5^x = 625

b) 5^x = 2^x-1

Solução para

O número 625 é um múltiplo de 5, com efeito, ao decompô-lo descobrimos que:

625 = 5⁴

Portanto, podemos escrever:

5^x = 5⁴

Como as bases são iguais à esquerda e à direita, podemos igualar os expoentes e obter:

x = 4

Solução b

Para este exercício não podemos recorrer à técnica anteriormente utilizada, pois as bases não são as mesmas. Mas podemos aplicar logaritmo a ambos os lados da igualdade, assim:

5^x = 2^x-1

log (5^x) = log (2^x-1)

Agora, a seguinte propriedade de logaritmos se aplica:

log mⁿ = n⋅log m

E permanece:

x⋅log 5 = (x-1) ⋅log 2

x⋅ (log 5 - log 2) = -log 2

x = - log 2 ÷ (log 5 - log 2)

- Exercício 2

Indique qual função corresponde a cada um dos gráficos mostrados abaixo:

Solução para

Por ser um gráfico crescente, b é maior que 1 e sabemos que o ponto (2,9) pertence ao gráfico, portanto:

y = b^x → 9 = b²

Nós sabemos que 3² = 9, portanto, b = 3 e a função é y = 3^x

Solução b

Mais uma vez, substituímos o ponto dado (-1, 1/5) em y = b^x para obter:

1/5 = b^-1 = 1 / b

Então b = 5 e a função procurada é:

y = 5^x

Referências

Figuera, J. 2000. Mathematics 1st. Diversificado. Edições CO-BO.
Gid Hoffmann, J. Selection of Mathematics Topics for 4th. Ano. Ed. Sphinx.
Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
Larson, R. 2010. Cálculo de uma variável. 9º. Edição. McGraw Hill.
Stewart, J. 2006. Precalculus: Mathematics for Calculus. 5 ª. Edição. Cengage Learning.