Momento de inércia: fórmulas, equações e exemplos de cálculo - Ciência - 2023

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o momento de inércia de um corpo rígido em relação a um determinado eixo de rotação, representa sua resistência à mudança de sua velocidade angular em torno do referido eixo. É proporcional à massa e também à localização do eixo de rotação, uma vez que o corpo, dependendo de sua geometria, pode girar mais facilmente em torno de certos eixos do que de outros.

Suponha um grande objeto (consistindo em muitas partículas) que pode girar em torno de um eixo. Suponha que uma força aja F, aplicado tangencialmente no elemento de massa Δm_Eu, que produz um torque ou momento, dado por τ_líquido= ∑r_Eu x F_Eu. Vetor r_Eu é a posição de Δm_Eu(veja a figura 2).

Este momento é perpendicular ao plano de rotação (direção +k = saindo do papel). Uma vez que a força e o vetor de posição radial são sempre perpendiculares, o produto vetorial permanece:

τ_líquido = ∑ F_Eu r_Euk = ∑ (Δm_Eupara_Eu) r_Euk = ∑ Δm_Eu(para_Eu r_Eu) k

Aceleração para_Eu representa o componente tangencial da aceleração, uma vez que a aceleração radial não contribui para o torque. Em função da aceleração angular α, podemos indicar que:

para_Eu = α r_Eu

Portanto, o torque líquido se parece com isto:

τ_líquido = ∑ Δm_Eu(α r_Eu²) k = (∑ r_Eu² Δm_Eu)α k

A aceleração angular α é a mesma para todo o objeto, portanto não é afetada pelo subscrito “i” e pode sair do somatório, que é justamente o momento de inércia do objeto simbolizado pela letra I:

I = ∑ r_Eu² Δm_Eu

Este é o momento de inércia de uma distribuição de massa discreta. Quando a distribuição é contínua, a soma é substituída por uma integral e Δm torna-se um diferencial de massa dm. A integral é realizada sobre todo o objeto:

I = ∫_M(r²) dm

As unidades de momento de inércia no Sistema Internacional SI são kg x m². É uma quantidade escalar e positiva, pois é o produto de uma massa pelo quadrado de uma distância.

Exemplos de cálculo

Um objeto estendido, como uma barra, disco, esfera ou outro, cuja densidade ρ é constante e sabendo que a densidade é a relação massa - volume, o diferencial de massa dm é escrito como:

ρ = dm / dV → dm = ρdV

Substituindo no integral pelo momento de inércia, temos:

I = ∫r² ρdV = ρ ∫r²dV

Esta é uma expressão geral, válida para um objeto tridimensional, cujo volume V e posição r são funções de coordenadas espaciais x, Y Y z. Observe que sendo constante, a densidade está fora da integral.

A densidade ρ também é conhecido como densidade aparente, mas se o objeto for muito plano, como uma folha ou muito fino e estreito como uma haste, outras formas de densidade podem ser utilizadas, vejamos:

- Para uma folha muito fina, a densidade a ser usada é σ, a densidade superficial (massa por unidade de área) e dá é o diferencial da área.

- E se for uma barra fina, onde apenas o comprimento é relevante, a densidade de massa linear é usada λ e um diferencial de comprimento, de acordo com o eixo utilizado como referência.

Nos exemplos a seguir, todos os objetos são considerados rígidos (não deformáveis) e têm densidade uniforme.

Momento de inércia de uma barra fina em relação a um eixo que passa por seu centro

Aqui vamos calcular o momento de inércia de uma barra fina, rígida e homogênea de comprimento L e massa M, em relação a um eixo que passa pelo meio.

Primeiramente, é necessário estabelecer um sistema de coordenadas e construir uma figura com a geometria adequada, assim:

o Eixo X ao longo da barra e o Eixo y como eixo de rotação. O procedimento para estabelecer a integral também requer a escolha de um diferencial de massa sobre a barra, chamado dm, que tem um comprimento diferencial dx e está localizado na posição x arbitrário, em relação ao centro x = 0.

De acordo com a definição de densidade de massa linear λ:

λ = M / L

Como a densidade é uniforme, o que é válido para M e L, também é válido para dm e dx:

λ = dm / dx → dm = λdx.

Por outro lado, o elemento de massa está na posiçãox, então, ao substituir essa geometria na definição, temos uma integral definida, cujos limites são as extremidades da barra de acordo com o sistema de coordenadas:

Substituindo a densidade linear λ = M / L:

Para encontrar o momento de inércia da barra em relação a outro eixo de rotação, por exemplo, um que passa por um de seus extremos, você pode usar o teorema de Steiner (ver exercício resolvido no final) ou realizar um cálculo direto semelhante ao mostrado aqui, mas modificando a geometria de forma adequada.

Momento de inércia de um disco em relação a um eixo que passa por seu centro

Um disco muito fino de espessura desprezível é uma figura plana. Se a massa for uniformemente distribuída por toda a superfície da área A, a densidade de massa σ é:

σ = M / Y

Muito dm Como dá Eles correspondem à massa e à área do anel diferencial mostrado na figura. Vamos assumir que toda a montagem gira em torno do eixo y.

Você pode imaginar que o disco é composto de muitos anéis concêntricos de raio r, cada um com seu respectivo momento de inércia. Somando as contribuições de todos os anéis até atingir o raio R, teremos o momento total de inércia do disco.

σ= dm / dA → dm = σdá

Onde M representa toda a massa do disco. A área de um disco depende de seu raio r como:

A = π.r²

Derivando em relação a r:

dA / dr = 2 = 2π.r → dA = 2π.rdr

Substituindo o acima na definição de I:

Substituindo σ = M / (π.R²) permanece:

Momento de inércia de uma esfera sólida com cerca de um diâmetro

Uma esfera de raio R pode ser pensada como uma série de discos empilhados um em cima do outro, onde cada disco de massa infinitesimal dm, radio r e espessura dz, tem um momento de inércia dado por:

deu_disco = (½) r²dm

Para encontrar esse diferencial, simplesmente pegamos a fórmula da seção anterior e substituímos M Y R por dm Y r, respectivamente. Um disco como este pode ser visto na geometria da figura 5.

Ao somar todos os momentos infinitesimais de inércia dos discos empilhados, obtém-se o momento de inércia total da esfera:

Eu_esfera = ∫dI_disco

O que é equivalente a:

I = ∫_esfera(½) r²dm

Para resolver a integral, você precisa expressardm devidamente. Como sempre, é obtido a partir da densidade:

ρ = M / V = dm / dV → dm = ρ.dV

O volume de um disco diferencial é:

dV = Área da base x altura

A altura do disco é a espessura dz, enquanto a área da base é πr², portanto:

dV = πr²dz

E substituindo na integral proposta ficaria assim:

I = ∫_esfera(½) r²dm = ∫ (½) r²(ρπr²dz)

Mas antes de integrar, devemos observar que r –o raio do disco- depende de z e R –o raio da esfera-, como pode ser visto na figura 5. Usando o teorema de Pitágoras:

R² = r² + z² → r² = R² - z²

O que nos leva a:

I = ∫_esfera(½) ρ r²(πr²dz) = ∫_esfera(½) ρ π r⁴dz= ∫_esfera(½) ρ π (R² - z²)² dz

Para integrar em toda a esfera, notamos que z varia entre –R e R, portanto:

Sabendo que ρ = M / V = M / [(4/3) πR³] finalmente é obtido, após simplificar:

Momento de inércia de um cilindro sólido em relação ao eixo axial

Para este objeto, um método semelhante ao usado para a esfera é usado, só que desta vez é mais fácil se o cilindro for imaginado como sendo feito de cascas cilíndricas de raio r, espessura dr e altura H, como se fossem as camadas de uma cebola.

O volume dV de uma camada cilíndrica é:

dV = 2π.rL.dr

Portanto, a massa da casca é:

dm = ρ.dV = ρ. 2π.r.L.dr

Esta expressão é substituída na definição de momento de inércia:

A equação acima indica que o momento de inércia do cilindro não depende de seu comprimento, mas apenas de sua massa e raio. sim eu alterado, o momento de inércia em relação ao eixo axial permaneceria o mesmo. Por esta razão, Eu do cilindro corresponde ao do disco fino calculado anteriormente.

Momento de inércia de uma folha retangular em relação a um eixo que passa por seu centro

o Eixo y eixo horizontal de rotação. A figura abaixo mostra a geometria necessária para realizar a integração:

O elemento de área marcado em vermelho é retangular. Sua área é base x altura, portanto:

dA = a.dz

Portanto, o diferencial de massa é:

dm = σ.dA = σ. (a.dz)

Em relação à distância do elemento de área ao eixo de rotação, é sempre z. Substituímos tudo isso na integral do momento de inércia:

Agora, a densidade de massa superficial σ é substituída por:

σ = M / ab

E definitivamente se parece com isto:

Observe que é como uma barra fina.

Momento de inércia de uma folha quadrada em relação a um eixo que passa por seu centro

Para um quadrado lateral eu, na expressão anterior válida para um retângulo, simplesmente substitua o valor de b para aquele de eu:

Teoremas do momento de inércia

Existem dois teoremas especialmente úteis para simplificar o cálculo de momentos de inércia em relação a outros eixos, que de outra forma podem ser difíceis de encontrar devido à falta de simetria. Esses teoremas são:

Teorema de Steiner

Também chamado teorema dos eixos paralelos, relaciona o momento de inércia em relação a um eixo com outro que passa pelo centro de massa do objeto, desde que os eixos sejam paralelos. Para aplicá-lo, é necessário conhecer a distância D entre os dois eixos e, claro, a massa M do objeto.

Estar Eu_zo momento de inércia de um objeto estendido em relação ao eixo z, I_CMo momento de inércia em relação a um eixo que passa pelo centro de massa (CM) do referido objeto, então é verdade que:

Eu_z = Eu_CM + MD²

Ou na notação da seguinte figura:Eu_{z ’} = Eu_z + Md²

Teorema dos eixos perpendiculares

Este teorema é aplicado a superfícies planas e funciona assim: o momento de inércia de um objeto plano em torno de um eixo perpendicular a ele é a soma dos momentos de inércia em torno de dois eixos perpendiculares ao primeiro eixo:

Eu_z = Eu_x + I_Y

Se o objeto tem simetria tal que Eu_x e Eu_Y são iguais, então é verdade que:

Eu_z = 2I_x

Exercício resolvido

Encontre o momento de inércia da barra em relação a um eixo que passa por uma de suas pontas, conforme mostrado na Figura 1 (abaixo e à direita) e na Figura 10.

Solução:

Já temos o momento de inércia da barra em torno de um eixo que passa por seu centro geométrico. Como a barra é homogênea, seu centro de massa está naquele ponto, então este será nosso Eu_CM para aplicar o teorema de Steiner.

Se o comprimento da barra for eu, o eixo z está a uma distância D = L / 2, portanto:

Eu_z = Eu_CM + MD²= (1/12) ML²+ M (L / 2)²= (1/3) ML²

Referências

Bauer, W. 2011. Physics for Engineering and Sciences. Volume 1. Mc Graw Hill. 313-340
Rex, A. 2011. Fundamentals of Physics. Pearson. 190-200.
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Sevilla University. Momento de inércia dos sólidos esféricos. Recuperado de: laplace.us.es.
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Wikipedia. Teorema do eixo paralelo. Recuperado de: en.wikipedia.org