Ângulos na circunferência: tipos, propriedades, exercícios resolvidos - Ciência - 2023

Contente

Chamam-se ângulos de circunferência para aqueles em que alguns de seus elementos são ou se cruzam em uma determinada circunferência. Entre eles estão os seguintes:

1.- O ângulo central, cujo vértice está no centro da circunferência e seus lados são secantes a ela, como podemos ver na imagem a seguir:

2.- O ângulo inscrito, cujo vértice está na circunferência e seus lados são secantes ou tangentes à circunferência.

3.- Ângulo externo, cujo vértice está fora da circunferência, mas seus lados são secantes ou tangentes à circunferência.

4.- O ângulo interior, com o vértice dentro da circunferência e seus lados secantes a ele.

Todos esses ângulos têm certas relações entre si e isso nos leva a propriedades importantes entre os ângulos pertencentes a um determinado círculo.

Propriedades

- ângulo central

O ângulo central é definido como aquele cujo vértice está no centro da circunferência e seus lados interceptam a circunferência.

A medida em radianos de um ângulo central é o quociente entre o arco subtendente, ou seja, o arco de circunferência entre os lados do ângulo e o raio da circunferência.

Se a circunferência for unitária, ou seja, de raio 1, então a medida do ângulo central é o comprimento do arco, que corresponde ao número de radianos.

Se você quiser a medida do ângulo central em graus, multiplique a medida em radianos pelo fator 180º / π.

Os instrumentos de medição de ângulo, como o transferidor e o goniômetro, sempre usam um ângulo central e o comprimento do arco subtendido.

Eles são calibrados em graus sexagesimais, o que significa que sempre que um ângulo é medido com eles, em última análise, o que é medido é o comprimento do arco subtendido pelo ângulo central.

Propriedade

A medida de um ângulo central em radianos é igual ao comprimento do arco que ele subtende ou intercepta dividido pelo comprimento do raio.

- Ângulo inscrito

O ângulo inscrito de um círculo é aquele que tem seu vértice na circunferência e seus raios são secantes ou tangentes a ele.

Suas propriedades são:

Propriedades

-O ângulo inscrito é convexo ou plano.

–Quando um ângulo inscrito cruza o mesmo arco que o ângulo central, a medida do primeiro ângulo será a metade da do segundo.

Na figura 3 são mostrados dois ângulos ∠ABC e ∠AOC que interceptam o mesmo arco de circunferência A⌒C.

Se a medida do ângulo inscrito é α, então a medida β do ângulo central é duas vezes a medida do ângulo inscrito (β = 2 α) porque ambos subtendem o mesmo arco de medida d.

- ângulo externo

É o ângulo cujo vértice está fora da circunferência e cada um de seus lados corta a circunferência em um ou mais pontos.

Propriedade

-Sua medida é igual à semidiferença (ou diferença dividida por 2) dos ângulos centrais que interceptam os mesmos arcos.

Para garantir que a medição seja positiva, a semidiferença deve ser sempre a do maior ângulo central menos a medida do menor ângulo central, conforme ilustrado na figura a seguir.

- ângulo interno

O ângulo interno é aquele cujo vértice está dentro da circunferência e seus lados interceptam a circunferência.

Propriedade

Sua medida é igual à semissomidade do ângulo central que subtende o mesmo arco, mais o ângulo central que subtende o mesmo arco que seu ângulo de extensão (este é o ângulo interno formado pelos raios complementares aos do ângulo interno original).

A figura a seguir ilustra e esclarece a propriedade do ângulo interno.

Exercícios resolvidos

- Exercício 1

Suponha um ângulo inscrito no qual um de seus lados passe pelo centro da circunferência, conforme mostrado na Figura 6. O raio da circunferência é OA = 3 cm e o arco d tem comprimento de π / 2 cm. Determine o valor dos ângulos α e β.

Solução

Nesse caso, forma-se o triângulo isósceles COB, pois [OC] = [OB]. Em um triângulo isósceles, os ângulos adjacentes à base são iguais, portanto ∠BCO = ∠ABC = α. Por outro lado ∠COB = 180º - β. Considerando a soma dos ângulos internos do triângulo COB, temos:

α + α + (180º – β) = 180º

Daí se segue que 2 α = β, ou o que é equivalente α = β / 2, com o que se confirma a propriedade (3) da seção anterior, que a medida do ângulo inscrito é a metade do ângulo central, quando ambos os ângulos subtendem o mesmo acorde [AC].

Agora passamos a determinar os valores numéricos: o ângulo β é central e sua medida em radianos é o quociente entre o arco d e o raio r = OA, então sua medida é:

β = d / r = (π / 2 cm) / (3 cm) = π / 6 rad = 30º.

Por outro lado, já havia sido afirmado que α = β / 2 = (π / 6 rad) / 2 = π / 12 rad = 15º.

- Exercício 2

Na figura 7 os ângulos α₁ e β₂ eles têm a mesma medida. Além disso, o ângulo β₁ mede 60º. Determine os ângulos β e α.

Solução

Neste caso, temos um ângulo inscrito ∠ABC no qual o centro O da circunferência está dentro do ângulo.

Devido à propriedade (3) temos α₂ = β₂ / 2 e α₁ = β₁ / 2. Como:

α = α₁ + α₂ e β = β₁ + β₂

Portanto, segue-se que:

α = α₁ + α₂ = β₁ /2 + β₂ /2 = (β₁ + β₂) / 2 = β / 2.

Ou seja, de acordo com as propriedades:

α = β / 2

Como somos informados de que β₁ = 60º então:

α₁ = β₁ /2 = 60º / 2 = 30º.

Eles também nos dizem que α₁ = β₂ então segue-se que:

β₂ = 30º.

O ângulo β resulta:

β₁ + β₂ = 60º + 30º = 90º.

E como α = β / 2, então:

α= 90º / 2 = 45º.

Em conclusão:

β = 90º e α = 45º.

Referências

Baldor, A. 1973. Geometria e trigonometria. Editora Cultural da América Central.
E. A. 2003. Elementos de geometria: com exercícios e geometria de compasso. University of Medellin.
Geometria 1º ESO. Ângulos na circunferência. Recuperado de: edu.xunta.es.
Toda ciência. Resolvidos problemas de ângulos na circunferência. Recuperado de: francesphysics.blogspot.com
Wikipedia. Ângulo inscrito. Recuperado de: es.wikipedia.com