Coordenadas retangulares: exemplos e exercícios resolvidos - Ciência - 2023

Contente

As coordenadas retangulares ou cartesianos são aqueles obtidos projetando ortogonalmente nos três eixos cartesianos X, Y, Z um ponto localizado no espaço tridimensional.

Os eixos cartesianos são linhas mutuamente orientadas perpendiculares umas às outras. No sistema de coordenadas cartesianas, cada ponto no espaço é atribuído a três números reais que são suas coordenadas retangulares.

Um plano é um subespaço do espaço tridimensional. No caso de considerar pontos em um plano, basta escolher um par de eixos perpendiculares X, Y como sistema cartesiano. Em seguida, cada ponto no plano é atribuído a dois números reais, que são suas coordenadas retangulares.

Origem das coordenadas retangulares

As coordenadas retangulares foram propostas originalmente pelo matemático francês René Descartes (1596 e 1650), por isso são chamadas de cartesianas.

Com essa ideia de Descartes, os pontos no plano e no espaço são atribuídos números, de modo que as figuras geométricas tenham uma equação algébrica associada a elas e os teoremas geométricos clássicos possam ser provados algebricamente. Com as coordenadas cartesianas, nasce a geometria analítica.

O plano cartesiano

Se em um plano duas linhas perpendiculares são escolhidas que se cruzam em um ponto O; e se, além de cada linha, uma direção e uma escala numérica entre pontos equidistantes sucessivos são atribuídos, então há um sistema cartesiano ou plano no qual cada ponto do plano está associado a um par ordenado de dois números reais que são suas projeções respectivamente os eixos X e Y.

Os pontos A = (3, 2); B = (- 2, 3); C = (- 2, -3) e D = (3, -3) são representados no plano cartesiano conforme mostrado abaixo:

Observe que os dois eixos X e Y dividem o plano em quatro setores chamados quadrantes. O ponto A está no primeiro quadrante, o ponto B está no segundo quadrante, o ponto C está no terceiro quadrante e o ponto D está no quarto quadrante.

Distância entre dois pontos

A distância entre dois pontos A e B no plano cartesiano é o comprimento do segmento que os une. Esta distância pode ser calculada analiticamente da seguinte forma:

d (A, B) = √ (Bx - Ax) ^ 2 + (Por - Ay) ^ 2)

A fórmula acima é obtida aplicando o teorema de Pitágoras.

Aplicando esta fórmula aos pontos A, B na figura 2, temos:

d (A, B) = √ (-2 - 3) ^ 2 + (3 - 2) ^ 2) = √ (-5) ^ 2 + 1 ^ 2) = √ (26)

Ou seja, d (A, B) = 5,10 unidades. Observe que a distância foi obtida sem a necessidade de medição com régua, um procedimento totalmente algébrico foi seguido.

Expressão analítica de uma linha

As coordenadas retangulares permitem a representação analítica de objetos geométricos fundamentais, como o ponto e a linha. Dois pontos A e B definem uma única linha. A inclinação da linha é definida como o quociente entre a diferença das coordenadas Y do ponto B menos A, dividido pela diferença das coordenadas X do ponto B menos A:

inclinação = (Por - Ay) / (Bx - Ax)

Qualquer ponto P de coordenadas (x, y) que pertença à reta (AB) deve ter a mesma inclinação:

inclinação = (y - Ay) / (x - Ax)

A equação obtida por meio da igualdade das inclinações é a representação analítica ou algébrica da reta que passa pelos pontos A e B:

(y - Ay) / (x - Ax) = (By - Ay) / (Bx - Ax).

Se tomarmos para A e B as coordenadas retangulares da figura 2, temos:

(y - 2) / (x - 3) = (3 - 2) / (- 2 - 3)

(y - 2) / (x - 3) = -⅕

Neste caso particular, temos uma linha com inclinação negativa -⅕, o que significa que, ao localizar em um ponto na linha e aumentar a coordenada x em uma unidade, a coordenada y diminui em 0,2 unidades.

A maneira mais comum de escrever a equação da reta no plano é com a coordenada y apagada em função da variável x:

y = - (1/5) x + 13/5

Exemplos

Exemplo 1

Obtenha por métodos analíticos a distância entre os pontos C e A, sendo as coordenadas retangulares de C = (-2, -3) e de A = (3,2).

A fórmula para a distância euclidiana entre esses dois pontos é escrita assim:

d (A, C) = √ ((Cx - Ax) ^ 2 + (Cy - Ay) ^ 2)

Substituindo suas coordenadas retangulares correspondentes, temos:

d (A, C) = √ (-2 - 3) ^ 2 + (-3 - 2) ^ 2) = √ (-5) ^ 2 + (-5) ^ 2) = 5√2 = 7,07

Exemplo 2

Obtenha a equação da reta que passa pelo ponto C das coordenadas (-2, -3) e pelo ponto P das coordenadas (2, 0).

Primeiro, é obtida a inclinação da linha CP:

inclinação = (0 - (- 3)) / (2 - (-2)) = ¾

Qualquer ponto Q de coordenadas retangulares genéricas (x, y) que pertence à linha CP deve ter a mesma inclinação:

inclinação = (y - (- 3)) / (x - (-2)) = (y +3) / (x +2)

Em outras palavras, a equação da linha CP é:

(y +3) / (x +2) = ¾

Uma maneira alternativa de escrever a equação da linha CP é resolver para y:

y = ¾ x - 3/2

Exercícios resolvidos

Exercício 1

Obtenha as coordenadas retangulares do ponto de intersecção entre as retas y = - (1/5) x + 13/5 e a reta y = ¾ x - 3/2.

Solução: Por definição, o ponto de interseção das duas linhas compartilham as mesmas coordenadas retangulares. Portanto, as coordenadas y no ponto de interseção são idênticas para ambas as linhas:

- (1/5) x + 13/5 = ¾ x - 3/2

o que leva à seguinte expressão:

(¾ + ⅕) x = 13/5 +3/2

resolvendo a soma das frações, obtemos:

19/20 x = 41/10

Resolvendo para x:

x = 82/19 = 4,32

Para obter o valor y da interseção, o valor x obtido é substituído em qualquer uma das linhas:

y = ¾ 4,32 - 3/2 = 1,74

Isso significa que as linhas dadas se cruzam no ponto I das coordenadas I = (4.32, 1.74).

Exercício 2

Obtenha a equação da circunferência que passa pelo ponto R de coordenadas retangulares (3, 4) e que tem seu centro na origem das coordenadas.

Solução: O raio R é a distância do ponto R à origem O das coordenadas (0, 0).

d (R, O) = √ ((Rx - 0) ^ 2 + (Ry - 0) ^ 2) = √ ((3 - 0) ^ 2 + (4 - 0) ^ 2) = √ (3 ^ 2 + 4 ^ 2) = √ (9 + 16) = √ (25) = 5

Ou seja, é um círculo de raio 5 centrado em (0,0).

Qualquer ponto P (x, y) na circunferência deve ter a mesma distância 5 do centro (0, 0) para que possa ser escrito:

d (P, O) = √ ((x - 0) ^ 2 + (y - 0) ^ 2) = √ (x ^ 2 + y ^ 2) = 5

Quer dizer:

√ (x ^ 2 + y ^ 2) = 5

Para eliminar a raiz quadrada, ambos os membros da igualdade são elevados ao quadrado, obtendo:

x ^ 2 + y ^ 2 = 25

Qual é a equação da circunferência.

Este exemplo ilustra a força do sistema de coordenadas retangulares, que permite determinar objetos geométricos, como a circunferência, sem a necessidade de papel, lápis e compasso. A circunferência solicitada foi determinada exclusivamente por métodos algébricos.

Referências

Arfken G e Weber H. (2012). Métodos matemáticos para físicos. Um guia completo. 7ª edição. Academic Press. ISBN 978-0-12-384654-9
Cálculo cc. Resolvidos problemas de coordenadas retangulares. Recuperado de: calculo.cc
Weisstein, Eric W. "Cartesian Coordinates." Da MathWorld-A Wolfram Web. Recuperado de: mathworld.wolfram.com
wikipedia. Sistema de coordenada cartesiana. Recuperado de: en.wikipedia.com