Constante de proporcionalidade: o que é, cálculo, exercícios - Ciência - 2023

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o constante de proporcionalidade é um elemento numérico relacional, usado para definir o padrão de similaridade entre 2 grandezas que são alteradas simultaneamente. É muito comum representá-lo como uma função linear de forma genérica usando a expressão F (X) = k.X. No entanto, esta não é a única representação de uma proporcionalidade possível.

Por exemplo, a relação entre X e Y na função Y = 3x tem uma constante de proporcionalidade igual a 3. Observa-se que conforme a variável independente X cresce, também cresce a variável dependente Y, ao triplo de seu valor anterior.

As alterações aplicadas a uma variável repercutem imediatamente na outra, de modo que há um valor conhecido como constante de proporcionalidade. Isso serve para relacionar as diferentes magnitudes que ambas as variáveis adquirem.

Qual é a constante de proporcionalidade e tipos

De acordo com a tendência de mudança das variáveis, as proporcionalidades podem ser classificadas em 2 tipos.

Proporcionalidade direta

Sugere uma relação unilateral entre duas quantidades. Nele, se a variável independente apresentar algum crescimento, a variável dependente também crescerá. Da mesma forma, qualquer diminuição na variável independente causará uma diminuição na magnitude de Y.

Por exemplo, a função linear usada na introdução; Y = 3X, corresponde a uma relação direta de proporcionalidade. Isso ocorre porque o aumento na variável independente X causará um aumento triplo no valor anterior obtido pela variável dependente Y.

Da mesma forma, a variável dependente diminuirá três vezes seu valor quando X diminuir em magnitude.

O valor da constante de proporcionalidade "K" em uma relação direta é definido como K = Y / X.

Proporcionalidade inversa ou indireta

Neste tipo de funções, a relação entre as variáveis é apresentada em antônimo, onde o crescimento ou diminuição da variável independente corresponde, respectivamente, à diminuição ou crescimento da variável dependente.

Por exemplo, a função F (x) = k / x é uma relação inversa ou indireta. Como o valor da variável independente começa a aumentar, o valor de k será dividido por um número crescente, fazendo com que o valor da variável dependente diminua de acordo com a proporção.

De acordo com o valor obtido por K, a tendência da função proporcional inversa pode ser definida. Se k> 0, então a função estará diminuindo em todos os números reais. E seu gráfico estará no 1º e 3º quadrante.

Ao contrário, se o valor de K for negativo ou menor que zero, a função será crescente e seu gráfico se encontrará no 2º e 4º quadrantes.

Como é calculado?

Existem diferentes contextos em que a definição da constante de proporcionalidade pode ser necessária. Nos diferentes casos, diferentes dados sobre o problema serão mostrados, onde o estudo destes finalmente resultará no valor de K.

De forma genérica, o acima mencionado pode ser recapitulado. Os valores de K correspondem a duas expressões dependendo do tipo de proporcionalidade presente:

- Direto: K = Y / X

- Inverso ou indireto: K = Y.X

De acordo com seu gráfico

Às vezes, o gráfico de uma função será apenas parcial ou totalmente conhecido. Nestes casos, será necessário, por meio de análise gráfica, determinar o tipo de proporcionalidade. Depois será necessário definir uma coordenada que permita verificar os valores de X e Y para aplicar à fórmula K correspondente.

Os gráficos referentes às proporcionalidades diretas são lineares. Por outro lado, os gráficos das funções proporcionais inversas geralmente assumem a forma de hipérboles.

De acordo com a tabela de valores

Em alguns casos, existe uma tabela de valores com os valores correspondentes a cada iteração da variável independente. Normalmente, isso envolve fazer o gráfico, além de definir o valor de K.

De acordo com a expressão analítica

Retorna a expressão que define a função analiticamente. O valor de K pode ser resolvido diretamente, ou também pode ser inferido da própria expressão.

Por regra direta ou composta de três

Em outros modelos de exercício, certos dados são apresentados, os quais se referem à relação entre os valores. Isso torna necessário aplicar a regra direta ou composta de três para definir outros dados exigidos no exercício.

História

O conceito de proporcionalidade sempre existiu. Não só na mente e no trabalho dos grandes matemáticos, mas no dia a dia da população, devido à sua praticidade e aplicabilidade.

É muito comum encontrar situações que requerem uma abordagem da proporcionalidade. Estes são apresentados em cada caso em que é necessário comparar variáveis e fenômenos que possuem certas relações.

Por meio de uma linha do tempo podemos caracterizar os momentos históricos, nos quais os avanços matemáticos relativos à proporcionalidade foram aplicados.

- século 2 a.C. O sistema de armazenamento de fração e proporção é adotado na Grécia.

- século V a.C. A proporção que relaciona o lado e a diagonal de um quadrado também é descoberta na Grécia.

- 600 a.C. Tales de Mileto apresenta seu teorema a respeito da proporcionalidade.

- Ano 900. O sistema decimal usado anteriormente pela Índia é expandido em razões e proporções. Contribuição dos árabes.

- século XVII. Contribuições quanto às proporções chegam ao cálculo de Euler.

- Século XIX. Gauss contribui com o conceito de número complexo e proporção.

- Século XX. A proporcionalidade como modelo de função é definida por Azcarate e Deulofeo.

Exercícios resolvidos

Exercício 1

É necessário calcular o valor das variáveis x, y, z e g. Conhecendo as seguintes relações proporcionais:

3x + 2y - 6z + 8g = 1925

x / 3 = y / 8 = z / 3 = g / 5

Passamos a definir os valores relativos da constante de proporcionalidade. Podem ser obtidos a partir da segunda relação, onde o valor que divide cada variável indica uma relação ou razão referente a K.

X = 3k y = 2k z = 3k g = 5k

Os valores são substituídos na primeira expressão, onde o novo sistema será avaliado em uma única variável k.

3 (3k) + 2 (2k) - 6 (3k) + 8 (5k) = 1925

9k + 4k -18k + 40k = 1925

35k = 1925

K = 1925/35 = 55

Usando este valor da constante de proporcionalidade, podemos encontrar a figura que define cada uma das variáveis.

x = 3 (55) = 165 y = 2 (55) = 110

z = 3 (55) = 165 g = 5 (55) = 275

Exercício 2

Calcule a constante de proporcionalidade e a expressão que define a função, dado seu gráfico.

Primeiramente, o gráfico é analisado, sendo evidente seu caráter linear. Isso indica que se trata de uma função com proporcionalidade direta e que o valor de K será obtido através da expressão k = y / x

Em seguida, é escolhido um ponto determinável do gráfico, ou seja, aquele em que as coordenadas que o compõem podem ser visualizadas com exatidão.

Para este caso, o ponto (2, 4) é usado. De onde podemos estabelecer a seguinte relação.

K = 4/2 = 2

Portanto, a expressão é definida pela função y = kx, que neste caso será

F (x) = 2x

Referências

Matemática para Eletricidade e Eletrônica. Dr. Arthur Kramer. Cengage Learning, 27 de julho 2012
Visão 2020: O Papel Estratégico da Pesquisa Operacional. N. Ravichandran. Editores Aliados, 11 de setembro 2005
E-book de Gramática e Aritmética do Auxiliar Administrativo do Estado. MAD-Eduforma
Reforço da Matemática para apoio e diversificação curricular: para apoio e diversificação curricular. Mª Lourdes Lázaro Soto. Narcea Ediciones, 29 de agosto. 2003
Logística e gestão comercial. Maria José Escudero Serrano. Ediciones Paraninfo, S.A., 1 set. 2013