Princípio aditivo: em que consiste e exemplos - Ciência - 2023

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o princípio aditivo É uma técnica de contagem de probabilidade que permite medir de quantas maneiras uma atividade pode ser realizada, a qual, por sua vez, possui várias alternativas a serem realizadas, das quais apenas uma pode ser escolhida por vez. Um exemplo clássico disso é quando você quer escolher uma linha de transporte para ir de um lugar a outro.

Neste exemplo, as alternativas corresponderão a todas as linhas de transporte possíveis que cobrem a rota desejada, seja aérea, marítima ou terrestre. Não podemos ir a um local usando dois meios de transporte simultaneamente; precisamos escolher apenas um.

O princípio aditivo nos diz que o número de caminhos que temos para fazer esta viagem corresponderá à soma de cada alternativa (meio de transporte) possível que existe para ir ao local desejado, isso incluirá até mesmo os meios de transporte que fazem escala em algum lugar (ou lugares) entre.

Obviamente, no exemplo anterior escolheremos sempre a alternativa mais confortável que melhor se adapte às nossas possibilidades, mas probabilisticamente é muito importante saber de quantas maneiras um evento pode ser realizado.

Probabilidade

Em geral, probabilidade é o campo da matemática responsável por estudar eventos ou fenômenos e experimentos aleatórios.

Um experimento ou fenômeno aleatório é uma ação que nem sempre produz os mesmos resultados, mesmo que seja realizada com as mesmas condições iniciais, sem alterar nada no procedimento inicial.

Um exemplo clássico e simples para entender em que consiste um experimento aleatório é a ação de lançar uma moeda ou um dado. A ação será sempre a mesma, mas nem sempre obteremos "cara" ou "seis", por exemplo.

A probabilidade é responsável por fornecer técnicas para determinar a frequência com que um determinado evento aleatório pode ocorrer; entre outras intenções, a principal é prever possíveis eventos futuros que sejam incertos.

Probabilidade de um evento

Mais particularmente, a probabilidade de que um evento A ocorra é um número real entre zero e um; ou seja, um número pertencente ao intervalo [0,1]. É denotado por P (A).

Se P (A) = 1, então a probabilidade de ocorrer o evento A é de 100% e, se for zero, não há chance de ocorrer. O espaço amostral é o conjunto de todos os resultados possíveis que podem ser obtidos conduzindo um experimento aleatório.

Existem pelo menos quatro tipos ou conceitos de probabilidade, dependendo do caso: probabilidade clássica, probabilidade frequentista, probabilidade subjetiva e probabilidade axiomática. Cada um se concentra em casos diferentes.

A probabilidade clássica engloba o caso em que o espaço amostral possui um número finito de elementos.

Nesse caso, a probabilidade de um evento A ocorrer será o número de alternativas disponíveis para obter o resultado desejado (ou seja, o número de elementos no conjunto A), dividido pelo número de elementos no espaço amostral.

Aqui devemos considerar que todos os elementos do espaço amostral devem ser igualmente prováveis (por exemplo, como um dado que não se altera, no qual a probabilidade de obtenção de qualquer um dos seis números é a mesma).

Por exemplo, qual é a probabilidade de que o lançamento de um dado produza um número ímpar? Nesse caso, o conjunto A seria composto por todos os números ímpares entre 1 e 6, e o espaço amostral seria composto por todos os números de 1 a 6. Então, A tem 3 elementos e o espaço amostral tem 6. Então Portanto, P (A) = 3/6 = 1/2.

Qual é o princípio aditivo?

Conforme afirmado anteriormente, a probabilidade mede a frequência com que um determinado evento ocorre. Para poder determinar essa frequência, é importante saber de quantas maneiras esse evento pode ser realizado. O princípio aditivo nos permite fazer esse cálculo em um caso particular.

O princípio aditivo estabelece o seguinte: Se A é um evento que possui formas “a” de ser realizado, e B é outro evento que possui formas “b” de ser realizado, e se além disso apenas A ou B podem ocorrer e não ambos em ao mesmo tempo, então as formas de se realizar A ou B (A deB) são a + b.

Em geral, isso é estabelecido para a união de um número finito de conjuntos (maior ou igual a 2).

Exemplos

Primeiro exemplo

Se uma livraria vende livros de literatura, biologia, medicina, arquitetura e química, dos quais possui 15 tipos diferentes de livros de literatura, 25 de biologia, 12 de medicina, 8 de arquitetura e 10 de química, quantas opções uma pessoa tem escolher um livro de arquitetura ou um livro de biologia?

O princípio aditivo nos diz que o número de opções ou maneiras de fazer essa escolha é 8 + 25 = 33.

Este princípio também pode ser aplicado no caso de um único evento estar envolvido, que por sua vez tem diferentes alternativas a serem realizadas.

Suponha que você queira realizar uma determinada atividade ou evento A e que existam várias alternativas para isso, digamos n.

Por sua vez, a primeira alternativa tem₁ formas de ser realizada, a segunda alternativa tem que₂ maneiras de ser feito, e assim por diante, o número alternativo n pode ser feito a partir de um_n maneiras.

O princípio aditivo afirma que o evento A pode ser realizado a partir de um₁+ a₂+… + A_n maneiras.

Segundo exemplo

Suponha que uma pessoa queira comprar um par de sapatos. Ao chegar na sapataria, encontra apenas dois modelos diferentes de seu tamanho de calçado.

Existem duas cores disponíveis de um e cinco cores disponíveis do outro. De quantas maneiras essa pessoa pode fazer esta compra? Pelo princípio aditivo, a resposta é 2 + 5 = 7.

O princípio aditivo deve ser usado quando você deseja calcular a maneira de realizar um evento ou outro, não os dois simultaneamente.

Para calcular as diferentes maneiras de realizar um evento em conjunto ("e") com outro - isto é, que ambos os eventos devem ocorrer simultaneamente - o princípio multiplicativo é usado.

O princípio aditivo também pode ser interpretado em termos de probabilidade da seguinte forma: a probabilidade de que um evento A ou um evento B ocorra, que é denotado por P (A∪B), sabendo que A não pode ocorrer simultaneamente com B, é dado por P (A∪B) = P (A) + P (B).

Terceiro exemplo

Qual é a probabilidade de obter 5 ao rolar um dado ou cara ao jogar uma moeda?

Como visto acima, em geral a probabilidade de obter qualquer número ao rolar um dado é de 1/6.

Em particular, a probabilidade de obter 5 também é de 1/6. Da mesma forma, a probabilidade de obter cara ao jogar uma moeda é 1/2. Portanto, a resposta à questão anterior é P (A∪B) = 1/6 + 1/2 = 2/3.

Referências

Bellhouse, D. R. (2011). Abraham De Moivre: Preparando o cenário para a probabilidade clássica e suas aplicações. CRC Press.
Cifuentes, J. F. (2002). Introdução à Teoria da Probabilidade. Nacional da Colômbia.
Daston, L. (1995). Probabilidade Clássica no Iluminismo. Princeton University Press.
Hopkins, B. (2009). Recursos para o ensino de matemática discreta: projetos de sala de aula, módulos de história e artigos.
Johnsonbaugh, R.(2005). Matemática discreta. Pearson Education.
Larson, H. J. (1978). Introdução à teoria da probabilidade e inferência estatística. Editorial Limusa.
Lutfiyya, L. A. (2012). Solucionador de problemas matemáticos finitos e discretos. Editores da Associação de Pesquisa e Educação.
Martel, P. J., & Vegas, F. J. (1996). Probabilidade e estatística matemática: aplicações na prática clínica e na gestão da saúde. Edições Díaz de Santos.
Padró, F. C. (2001). Matemática discreta. Politèc. da Catalunha.
Steiner, E. (2005). Matemática para ciências aplicadas. Reverte.