Ângulos opostos pelo vértice (com exercício resolvido) - Ciência - 2023

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Ângulos opostos pelo vértice (com exercício resolvido) - Ciência
Ângulos opostos pelo vértice (com exercício resolvido) - Ciência

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o Ângulos opostos pelo vértice são aqueles que cumprem o seguinte: os lados de um deles são as extensões dos lados do outro ângulo. o teorema fundamental dos ângulos opostos pelo vértice é assim: dois ângulos opostos pelo vértice têm a mesma medida.

Freqüentemente, a linguagem é abusada dizendo que os ângulos opostos ao vértice são iguais, o que não é correto. O fato de dois ângulos terem a mesma medida não significa que sejam iguais. É como dizer que duas crianças da mesma altura são iguais.

Lembre-se de que um ângulo é definido como a figura geométrica composta por dois raios com a mesma origem.

A Figura 1 mostra o ângulo névoa (azul) composto pelo raio [Do) e o raio [Og) de origem comum OU. A Figura 1 também mostra o ângulo olá (vermelho) composto pelo raio [Oi) e o raio [Oh) ambos com origem OU. 


Dois ângulos opostos pelo vértice são duas figuras geométricas diferentes. Para destacar isso, na figura 1 o ângulo foi colorido névoa colorido azul, enquanto o ângulo olá foi tingido de vermelho.

Os ângulos azul e vermelho na Figura 1 são opostos no vértice porque: o raio [Do) do ângulo azul é a extensão do raio [Oh) do ângulo vermelho e do raio [Og) do ângulo azul é a extensão do raio [Oi) do ângulo vermelho.

Conceitos importantes sobre ângulos

Lados e vértices de um ângulo

A figura geométrica que consiste em dois raios com origem comum é um ângulo. A imagem a seguir mostra o ângulo POQ formado pelos dois raios [OP) Y [OQ) de origem comum OU:


Os raios [OP) Y [OQ) são os lados angularesPOQ, enquanto o ponto comum O é chamado vértice do ângulo.

Setor angular: Um ângulo divide o plano que o contém em dois setores angulares. Um deles é o setor angular convexo e o outro é o setor angular côncavo. A união dos dois setores dá o plano completo.

A Figura 2 mostra o ângulo POQ e seus dois setores angulares. O setor angular convexo é aquele com forma pontiaguda, enquanto o côncavo é o setor angular do plano que não possui o setor convexo.

Ângulos formados por duas linhas que se cruzam

Duas linhas de interseção de um plano formam quatro ângulos e dividem o plano em quatro setores angulares.


A Figura 3 mostra as duas linhas (PQ) Y (RS) que são interceptados em OU. Lá pode ser visto que quatro ângulos são determinados:

-SOQ, QOR, ROP Y POS

Os ângulos SOQ Y QOR, QOR Y ROP, ROP Y POS, POS Y SOQ estão ângulos adjacentes um ao outro, enquantoSOQ Y ROP eles são opostos no vértice. Eles também são Ângulos opostos pelo vértice Os ângulos QOR Y POS.

Linhas perpendiculares e ângulos retos

Duas linhas secantes (linhas que se cruzam) sãoLinhas retas perpendiculares se eles determinam quatro setores angulares de igual medida. Se cada um dos quatro setores for simétrico com o setor angular adjacente, eles terão a mesma medida.

Cada um dos ângulos que determinam as duas linhas perpendiculares é chamado ângulo reto. Todos os ângulos retos têm a mesma medida.

Raios na mesma linha e ângulo plano

Dada uma linha e um ponto nela, dois raios são definidos. Esses dois raios definem dois ângulos planos.

Na figura 3 você pode ver a linha (RS) e o ponto OU que pertence a (RS). O ângulo SOR é um ângulo plano. Também pode ser afirmado que o ângulo ROS é um ângulo plano. Todos os ângulos planos têm a mesma medida.

Ângulo nulo e ângulo total

Um único raio define dois ângulos: um deles o do setor angular convexo é o ângulo nulo e o outro, o do setor angular côncavo é o ângulo total. Na figura 3 você pode ver o ângulo nulo SOS e ele ângulo total SOS. 

Meça um ângulo

Existem dois sistemas numéricos que são freqüentemente usados ​​para fornecer a medida de um ângulo.

Um deles é o sistema sexagesimal, ou seja, baseado no número 60. É uma herança das antigas culturas mesopotâmicas. O outro sistema de medição de ângulos é o sistema radianos, baseado no número π (pi) e é um legado dos antigos sábios gregos que desenvolveram a geometria.

Sistema sexagesimal

Ângulo nulo: no sistema sexagesimal o ângulo nulo mede 0º (zero grau).

Ângulo total: é atribuída a medida de 360º (trezentos e sessenta graus).

Ângulo plano: no sistema sexagesimal o ângulo do plano mede 180º (cento e oitenta graus).

Ângulo reto: duas linhas perpendiculares dividem o plano em quatro ângulos de igual medida chamados ângulos retos. A medida de um ângulo reto é um quarto do ângulo total, ou seja, 90º (noventa graus).

Transferidor ou goniômetro

O transferidor é o instrumento usado para medir ângulos. Consiste em um semicírculo (geralmente plástico transparente) dividido em 180 seções angulares. Como um semicírculo forma um ângulo plano, a medida entre duas seções consecutivas é 1º.

O goniômetro é semelhante ao transferidor e consiste em um círculo dividido em 360 seções angulares.

Um ângulo cujos lados partem do centro do goniômetro cruzam dois setores e a medida desse ângulo em graus é igual ao número n de seções entre os dois setores interceptados, neste caso a medida será nº (lê-se “Graus de janeiro”).

Teorema dos ângulos do vértice

Formalmente, o teorema é afirmado desta forma:

Se dois ângulos estão opostos um ao outro no vértice, eles têm a mesma medida.

Demonstração

O ângulo SOQ tem medida α; o ângulo QOR tem medida β e ângulo ROP tem medida γ. A soma do ângulo SOQ mais ele QOR formar o ângulo do plano SOR medindo 180º.

Quer dizer que:

α + β = 180º

Por outro lado e usando o mesmo raciocínio com os ângulos QOR Y ROP se tem:

β + γ = 180º

Se olharmos para as duas equações anteriores, a única maneira de ambas valerem é α ser igual a γ.

Como SOQ tem medida α e é oposto pelo vértice a ROP da medida γ, e como α = γ, conclui-se que os ângulos opostos ao vértice têm a mesma medida.

Exercício resolvido

Com referência à Figura 4: suponha que β = 2 α. Encontre a medida dos ângulos SOQ, QOR Y ROP em graus sexagesimais.

Solução

Como a soma do ângulo SOQ mais ele QOR formar o ângulo do plano SOR se tem:

α + β = 180º

Mas eles nos dizem que β = 2 α. Substituindo este valor de β temos:

α + 2 α = 180º

Quer dizer:

3 α =  180º

O que significa que α é a terceira parte de 180º:

α =  (180º / 3) = 60º

Então a medida de SOQ é α = 60º. A medida de QOR é β = 2 α = 2 * 60º = 120º. Finalmente gosto ROP é oposto ao vértice a SOQ então, de acordo com o teorema já provado, eles têm a mesma medida. Ou seja, a medida de ROP é γ = α = 60º.

Referências

  1. Baldor, J. A. 1973. Plane and Space Geometry. Cultural da América Central.
  2. Leis e fórmulas matemáticas. Sistemas de medição de ângulo. Recuperado de: ingemecanica.com.
  3. Wikipedia. Ângulos opostos pelo vértice. Recuperado de: es.wikipedia.com
  4. Wikipedia. Esteira. Recuperado de: es.wikipedia.com
  5. Zapata F. Goniómetro: história, peças, operação. Recuperado de: lifeder.com