Constante de integração: significado, cálculo e exemplos - Ciência - 2023

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o constante de integração É uma mais-valia ao cálculo de antiderivadas ou integrais, serve para representar as soluções que constituem a primitiva de uma função. Ele expressa uma ambigüidade inerente onde qualquer função tem um número infinito de primitivas.

Por exemplo, se tomarmos a função: f (x) = 2x + 1 e obtermos sua antiderivada:

∫ (2x + 1) dx = x²+ x + C ; Onde C é o constante de integração e representa graficamente a tradução vertical entre as possibilidades infinitas do primitivo. É correto dizer que (x²+ x) é uma das primitivas de f (x).

Da mesma forma, você pode definir a (x²+ x + C ) como a primitiva de f (x).

Propriedade reversa

Pode-se notar que ao derivar a expressão (x²+ x) obtemos a função f (x) = 2x + 1. Isso se deve à propriedade inversa existente entre a derivação e a integração das funções. Esta propriedade permite obter fórmulas de integração a partir da diferenciação. O que permite a verificação de integrais pelas mesmas derivadas.

No entanto (x²+ x) não é a única função cuja derivada é igual a (2x + 1).

d (x²+ x) / dx = 2x + 1
d (x²+ x + 1) / dx = 2x + 1
d (x²+ x + 2) / dx = 2x + 1
d (x²+ x + 3) / dx = 2x + 1
d (x²+ x + C) / dx = 2x + 1

Onde 1, 2, 3 e 4 representam primitivas particulares de f (x) = 2x + 1. Enquanto 5 representa a integral indefinida ou primitiva de f (x) = 2x + 1.

As primitivas de uma função são alcançadas por meio da antiderivação ou processo integral. Onde F será uma primitiva de f se o seguinte for verdadeiro

y = ∫ f (x) dx= F (x) + C; C = constante de integração
F ’(x) = f (x)

Pode-se observar que uma função possui uma única derivada, ao contrário de suas infinitas primitivas resultantes da integração.

A integral indefinida

∫ f (x) dx = F (x) + C

Corresponde a uma família de curvas com o mesmo padrão, que experimentam incongruência no valor das imagens de cada ponto (x, y). Cada função que atende a este padrão será uma primitiva individual e o conjunto de todas as funções é conhecido como integral indefinida.

O valor do constante de integração será aquele que diferencia cada função na prática.

o constante de integração sugere um deslocamento vertical em todos os gráficos que representam as primitivas de uma função. Onde o paralelismo entre eles é observado, e o fato de que C é o valor do deslocamento.

De acordo com as práticas comuns, o constante de integração é denotado pela letra "C" após um adendo, embora na prática não importe se a constante é adicionada ou subtraída. Seu valor real pode ser encontrado de várias maneiras de acordo com diferentes condições iniciais.

Outros significados da constante de integração

Já foi falado sobre como constante de integração é aplicado no ramo de cálculo integral; Representando uma família de curvas que definem a integral indefinida. Mas muitas outras ciências e ramos atribuíram valores muito interessantes e práticos da constante de integração, que têm facilitado o desenvolvimento de múltiplos estudos.

No fisica a constante de integração pode assumir vários valores, dependendo da natureza dos dados. Um exemplo muito comum é conhecer a função V (t) que representa o Rapidez de uma partícula em função do tempo t. Sabe-se que ao calcular uma primitiva de V (t) a função é obtida R (t) que representa o posição da partícula em função do tempo.

o constante de integração representará o valor da posição inicial, ou seja, no instante t = 0.

Da mesma forma, se a função é conhecida A (t) que representa o aceleração da partícula em função do tempo. A primitiva de A (t) resultará na função V (t), onde o constante de integração será o valor da velocidade inicial V₀.

No economia, obtendo por integração a primitiva de uma função de custo. o constante de integração representará custos fixos. E tantas outras aplicações que merecem cálculo diferencial e integral.

Como é calculada a constante de integração?

Para calcular o constante de integração, sempre será necessário conhecer o condições iniciais. Que são responsáveis por definir qual das primitivas possíveis é a correspondente.

Em muitas aplicações, é tratado como uma variável independente no tempo (t), onde a constante C pega os valores que definem o condições iniciais do caso particular.

Se tomarmos o exemplo inicial: ∫ (2x + 1) dx = x²+ x + C

Uma condição inicial válida pode ser a condição de que o gráfico passe por uma coordenada específica. Por exemplo, sabe-se que o primitivo (x²+ x + C) passa pelo ponto (1, 2)

F (x) = x²+ x + C; esta é a solução geral

F (1) = 2

Substituímos a solução geral nesta igualdade

F (1) = (1)² + (1) + C = 2

Do qual se segue facilmente que C = 0

Assim, a primitiva correspondente para este caso é F (x) = x²+ x

Existem vários tipos de exercícios numéricos que funcionam com constantes de integração. Na verdade, o cálculo diferencial e integral não para de ser aplicado nas investigações atuais. Em diferentes níveis acadêmicos, eles podem ser encontrados; desde o cálculo inicial, passando pela física, química, biologia, economia, entre outros.

Também é visto no estudo de equações diferenciais, onde o constante de integração pode assumir diferentes valores e soluções, isto devido às múltiplas derivações e integrações que são feitas nesta matéria.

Exemplos

Exemplo 1

Um canhão localizado a 30 metros de altura dispara um projétil verticalmente para cima. A velocidade inicial do projétil é conhecida como 25 m / s. Decidir:

Função que define a posição do projétil em relação ao tempo.
O tempo de vôo ou instante de tempo em que a partícula atinge o solo.

Sabe-se que em um movimento retilíneo variado uniformemente a aceleração é um valor constante. É o caso do lançamento de projéteis, onde a aceleração será da gravidade

g = - 10 m / s²

Sabe-se também que a aceleração é a segunda derivada da posição, o que indica uma dupla integração na resolução do exercício, obtendo-se assim duas constantes de integração.

A (t) = -10

V (t) = ∫A (t) dt = ∫ (-10t) dt = -10t + C₁

As condições iniciais do exercício indicam que a velocidade inicial é V₀ = 25 m / s. Esta é a velocidade no instante do tempo t = 0. Desta forma, fica satisfeito que:

V (0) = 25 = -10 (0) + C₁ Y C₁= 25

A função de velocidade sendo definida

V (t) = -10t + 25; Pode-se observar a semelhança com a fórmula MRUV (V_F = V₀ + a x t)

De forma homóloga, passamos a integrar a função velocidade para obter a expressão que define a posição:

R (t) = ∫V (t) dt = ∫ (-10t + 25) dt = -5t² + 25t + C₂

R (t) = -5t² + 25t + C₂ (posição primitiva)

A posição inicial R (0) = 30 m é conhecida. Em seguida, o primitivo particular do projétil é calculado.

R (0) = 30m = -5 (0)² + 25(0) + C₂ . Onde C₂ = 30

A primeira seção está resolvida desde R (t) = -5t² + 25t + 30 ; Esta expressão é homóloga à fórmula de deslocamento em MRUV R (t) = R₀ + V₀t - gt²/2

Para a segunda seção, a equação quadrática deve ser resolvida: -5t² + 25t + 30 = 0

Uma vez que isso condiciona a partícula a atingir o solo (posição = 0)

Na verdade, a equação de segundo grau nos dá 2 soluções T: {6, -1}. O valor t = -1 é ignorado porque se trata de unidades de tempo cujo domínio não inclui números negativos.

Desta forma, a segunda seção é resolvida onde o tempo de vôo é igual a 6 segundos.

Exemplo 2

Encontre o f (x) primitivo que satisfaz as condições iniciais:

f '' (x) = 4; f '(2) = 2; f (0) = 7

Com a informação da segunda derivada f ’’ (x) = 4, o processo de antiderivação começa

f ’(x) = ∫f’ ’(x) dx

∫4 dx = 4x + C₁

Então, conhecendo a condição f '(2) = 2, procedemos:

4 (2) + C₁ = 2

C₁= -6 e f ’(x) = 4x - 8

Proceda da mesma forma para o segundo constante de integração

f (x) = ∫f ’(x) dx
∫ (4x - 8) dx = 2x² - 8x + C₂

A condição inicial f (0) = 7 é conhecida e procedemos:

2(0)² - 8 (0) + C₂= 7

C₂= 7 e f (x) = 2x² - 8x + 7

f ’’ (x) = x² ; f '(0) = 6; f (0) = 3

De forma semelhante ao problema anterior, definimos as primeiras derivadas e a função original a partir das condições iniciais.

f ’(x) = ∫f’ ’(x) dx

∫ (x²) dx = (x³/ 3) + C₁

Com a condição f '(0) = 6 procedemos:

( 0³/ 3) + C₁= 6; Onde₁= 6 e f ’(x) = (x³/3 ) + 6

Depois o segundo constante de integração

f (x) = ∫f ’(x) dx

∫ [(x³/ 3) + 6] dx = (x⁴/ 12) + 6x + C₂

A condição inicial f (0) = 3 é conhecida e procedemos:

[(0)⁴/ 12] + 6 (0) + C₂ = 3; Onde₂ = 3

Assim, obtemos o particular primitivo

f (x) = (x⁴/ 12) + 6x + 3

Exemplo 3

Defina as funções primitivas dadas as derivadas e um ponto no gráfico:

dy / dx = 2x - 2 que passa pelo ponto (3, 2)

É importante lembrar que as derivadas se referem à inclinação da reta tangente à curva em um determinado ponto. Onde não é correto assumir que o gráfico da derivada toca o ponto indicado, pois este pertence ao gráfico da função primitiva.

Desta forma, expressamos a equação diferencial da seguinte forma:

dy = (2x - 2) dx ; então, ao aplicar os critérios anti-derivação, temos:

∫dy = ∫ (2x - 2) dx

y = x² - 2x + C

Aplicando a condição inicial:

2 = (3)² - 2 (3) + C

C = -1

Se obtem: f (x) = x² - 2x - 1

dy / dx = 3x² - 1 que passa pelo ponto (0, 2)

Expressamos a equação diferencial da seguinte forma:

dy = (3x² - 1) dx ; então, ao aplicar os critérios anti-derivação, temos:

∫dy = ∫ (3x² - 1) dx

y = x³ - x + C

Aplicando a condição inicial:

2 = (0)² - 2 (0) + C

C = 2

Se obtem: f (x) = x³ - x + 2

Exercícios propostos

Exercício 1

Encontre o f (x) primitivo que satisfaz as condições iniciais:

f '' (x) = x; f '(3) = 1; f (2) = 5
f '' (x) = x + 1; f '(2) = 2; f (0) = 1
f '' (x) = 1; f '(2) = 3; f (1) = 10
f '' (x) = -x; f '(5) = 1; f (1) = -8

Exercício 2

Um balão subindo com uma velocidade de 16 pés / s deixa cair um saco de areia de uma altura de 64 pés acima do nível do solo.

Defina o tempo de voo
Qual será o vetor V_Fquando eu bato no chão?

Exercício 3

A figura mostra o gráfico do tempo de aceleração de um carro se movendo na direção positiva do eixo x. O carro estava viajando a uma velocidade constante de 54 km / h quando o motorista pisou no freio para parar em 10 segundos. Determinar:

A aceleração inicial do carro
A velocidade do carro em t = 5s
O deslocamento do carro durante a frenagem

Exercício 4

Defina as funções primitivas dadas as derivadas e um ponto no gráfico:

dy / dx = x que passa pelo ponto (-1, 4)
dy / dx = -x² + 1 que passa pelo ponto (0, 0)
dy / dx = -x + 1 que passa pelo ponto (-2, 2)

Referências

Cálculo integral. Os métodos de integração e integral indefinida. Wilson, Velásquez Bastidas. Magdalena University 2014
Stewart, J. (2001). Cálculo de uma variável. Transcendentais iniciais. México: Thomson Learning.
Jiménez, R. (2011). Matemática VI. Cálculo integral. México: Pearson Education.
Física I. Mc Graw hill