Círculo unitário: funções trigonométricas e aplicações - Ciência - 2023

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o círculo unitário é um círculo de raio igual a 1, que geralmente é centralizado no ponto (0,0) do sistema de coordenadas cartesianas xy. É usado para definir facilmente as proporções trigonométricas dos ângulos usando triângulos retângulos.

A equação do círculo unitário centrado na origem é:

x²+ e² = 1

Na figura 1 temos o círculo unitário, em que cada quarto está em um quadrante. Os quadrantes são numerados com algarismos romanos e contados no sentido anti-horário.

No primeiro quadrante, existe um triângulo. As pernas, em vermelho e azul, medem, respectivamente, 0,8 e 0,6, enquanto a hipotenusa em verde mede 1, por ser um raio.

O ângulo agudo α é um ângulo central na posição padrão, o que significa que seu vértice coincide com o ponto (0,0) e seu lado inicial com o eixo x positivo. O ângulo é medido no sentido anti-horário e é atribuído a um sinal positivo por convenção.

Bem, no círculo unitário, as coordenadas cosseno e seno de α são, respectivamente, as coordenadas xey do ponto B, que no exemplo mostrado são 0,8 e 0,6.

Destes dois, eles são definidos:

tg α = sin α / cos α = 0,6 / 0,8 = 0,75
seg α = 1 / cos α = 1 / 0,8 = 1,25
cosec α = 1 / sin α = 1 / 0,6 = 1,66…
ctg α = 1 / tg = 0,8 / 0,6 = 1,33…

Aplicações de círculo unitário

Se nos limitarmos aos triângulos retângulos, as relações trigonométricas se aplicariam apenas aos ângulos agudos. No entanto, com a ajuda do círculo unitário, o cálculo das relações trigonométricas é estendido a qualquer ângulo α.

Para isso, é necessário primeiro definir o conceito de ângulo de referência α_R:

Ângulo de referência

Seja α um ângulo na posição padrão (aquele cujo lado inicial coincide com o eixo x positivo), seu ângulo de referência α_R está entre os dele lado terminal e o eixo x. A Figura 2 mostra o ângulo de referência para os ângulos nos quadrantes I, II, III e IV.

Para cada quadrante, o ângulo de referência é calculado assim:

-Primeiro quadrante: α_R = α

-Segundo quadrante: α_R = 180º – α

-Terceiro quadrante: α_R = α – 180º

-Quarto quadrante: α_R = 360º – α

Observe que no primeiro quadrante o ângulo α coincide com seu ângulo de referência. Bem, as razões trigonométricas do ângulo α são as mesmas do seu ângulo de referência, com os sinais de acordo com aqueles dos quadrantes em que o lado terminal de α cai.

Em outras palavras, as razões trigonométricas do cosseno e do seno do ângulo α coincidem com as coordenadas do ponto P, conforme figura 2.

Na figura a seguir, vemos as razões trigonométricas de alguns ângulos notáveis, deduzidas do círculo unitário.

As relações cosseno e seno de qualquer ângulo no quadrante I são todas positivas. Para α = 60º temos as coordenadas (1/2; √3 / 2), que correspondem respectivamente a cos 60º e sen 60º.

As coordenadas de α = 120º são (-1/2; √3 / 2), já que estando no segundo quadrante, a coordenada x é negativa.

Traçando os gráficos de cosseno e seno

Com o auxílio do círculo unitário e das coordenadas dos pontos P sobre ele, é possível traçar os gráficos das funções cos t e sin t, como veremos a seguir.

Para isso, várias posições do ponto P (t) estão localizadas no círculo unitário. Começaremos com o gráfico da função f (t) = sin t.

Podemos ver que quando vamos de t = 0 para t = π / 2 (90º) o valor de sen t aumenta até chegar a 1, que é o valor máximo.

Por outro lado, de t = π / 2 para t = 3π / 2, o valor de sen t diminui de 1, passando por 0 em t = π até atingir seu mínimo de -1 em t = 3π / 2.

A figura mostra o gráfico do primeiro ciclo de f (t) = sen t que corresponde à primeira rodada do círculo unitário, esta função é periódica com período 2π.

Um procedimento análogo pode ser realizado para obter o gráfico da função f (t) = cos t, conforme mostrado na seguinte animação:

Propriedades das funções seno e cosseno

-As duas funções são contínuas no conjunto dos números reais e também periódicas, de período 2π.

-O domínio das funções f (t) = sin t e f (t) = cos t são todos números reais: (-∞, ∞).

-Para o intervalo ou caminho de seno e cosseno, temos o intervalo [-1,1]. Os colchetes indicam que -1 e 1 estão incluídos.

- Os zeros de sin t são os valores que correspondem a nπ com n inteiro, enquanto os zeros de cos t são [(2n + 1) / 2] com n também inteiro.

-A função f (t) = sin t é ímpar, ela tem simetria em relação à origem enquanto a função cos t é par, sua simetria é em relação ao eixo vertical.

Exercícios resolvidos

- Exercício 1

Dado cos t = - 2/5, que é a coordenada horizontal do ponto P (t) no círculo unitário no segundo quadrante, obtenha a coordenada vertical correspondente sen t.

Solução

Uma vez que P (t) pertence ao círculo unitário, no qual é verdade que:

x²+ e² = 1

Portanto:

y = ± √ 1 - x²

Como P (t) está no segundo quadrante, o valor positivo será considerado. A coordenada vertical do ponto P (t) é y:

y = √ 1 - (-2/5)² = √0.84

- Exercício 2

Um modelo matemático para temperatura T em graus Fahrenheit em qualquer dia, t horas depois da meia-noite, é dado por:

T (t) = 50 + 10 sen [(π / 12) × (t - 8)]

Com t entre 0 e 24 horas. Encontrar:

a) A temperatura às 8 horas.

b) Horas durante as quais T (t) = 60ºF

c) Temperaturas máximas e mínimas.

Solução para

Substituímos t = 8 na função dada:

T (8) = 50 + 10 sin [(π / 12) × (t-8)] = 50 + 10 sin [(π / 12) × (8-8)] =

= 50 + 10 x sen 0 = 50 ºF

Solução b

50 + 10 sin [(π / 12) × (t-8)] = 60

É uma equação trigonométrica e devemos resolver para o "t" desconhecido:

10 sen [(π / 12) × (t-8)] = 60 - 50 = 10

sin [(π / 12) × (t-8)] = 1

Sabemos que sin π / 2 = 1, portanto, o argumento do seno deve ser 1:

(π / 12) × (t-8) = π / 2

t-8 = 6

t = 14 h

Conclui-se que 14 horas após a meia-noite a temperatura é de 60º, ou seja, 14h. Não há outro horário ao longo do dia (24 horas) em que isso aconteça.

Solução c

A temperatura máxima corresponde ao valor no qual sin [(π / 12) × (t-8)] = 1 e é 60ºF. Em vez disso, o mínimo ocorre se sin [(π / 12) × (t-8)] = -1 e é 40ºF.

Referências

Figuera, J. 1999. Mathematics. 1ª Diversificado. Edições Colegiadas Bolivarianas.
Hoffman, J. Selection of Mathematics Topics. Volume 4.
Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
Math is Fun. Unit Circle. Recuperado de: de: mathsisfun.com.
Wikipedia. Identidades e fórmulas trigonométricas. Recuperado de: es.wikipedia.org.
Zill, D. 1984. Algebra and Trigonometry. McGraw Hill.