Subtração de vetores: método gráfico, exemplos, exercícios - Ciência - 2023

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Subtração de vetores: método gráfico, exemplos, exercícios - Ciência
Subtração de vetores: método gráfico, exemplos, exercícios - Ciência

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o subtração vetorial ou subtração vetorial entre vetores ou Y v denotado por ou – v, é calculado adicionando o vetor ou com o vetor oposto v. Algebricamente, a subtração é expressa da seguinte forma:

ou – v = ou + (-v)

É possível realizar a subtração vetorial seguindo vários procedimentos, por exemplo graficamente, desta forma um vetor v é desenhado por meio de um segmento de linha orientado –uma seta-.

O comprimento da seta corresponde ao módulo do vetor, a inclinação - em relação a uma dada linha de referência - indica a direção e o final indica a direção do vetor.

O vetor oposto v tem o mesmo comprimento e direção, mas na direção oposta. Então, antes de fazer a subtração entre ou Y v, é necessário desenhar o vetor oposto ve adicione este vetor a u.


É muito importante observar que a subtração vetorial não é comutativa, ou seja, a ordem dos vetores altera o resultado, portanto:

ou – v ≠ v – ou

O procedimento gráfico pode ser realizado por qualquer um destes métodos, cujas etapas explicaremos a seguir:

-Método do triângulo.

-Método do paralelogramo.

Método de subtração de vetor gráfico

Método Triângulo

Na figura 1, temos o primeiro dos métodos para subtrair graficamente dois vetores. É sobre método do triângulo, porque a figura que se forma ao estabelecer os vetores é um triângulo, como podemos ver na imagem à esquerda.

Para fazer a subtração ou – v procedemos da seguinte forma:


-Desenhe o vetor -v do vetor v, por meio de translação com régua e esquadro, mas mudando a direção da seta (imagem à esquerda).

-Move para vetor -v de modo que sua origem coincide com o final do vetor ou (imagem certa).

-Então é desenhado um vetor (em vermelho na imagem certa) que vai da origem de ou até o fim de v. Ligar D y é o vetor de diferença:

D = ou – v

Método de paralelogramo

No método do paralelogramo, os vetores a serem somados ou subtraídos devem coincidir em seus pontos de origem. Suponha que queremos encontrar ou – v Com nossos vetores mostrados acima, as etapas para encontrar a subtração de vetores por este método são as seguintes:

-Determine o vetor oposto v, o que é –V, conforme descrito acima para o método do triângulo.


- Mova os vetores com cuidado ou Y -v de tal forma que suas origens coincidam.

-Agora linhas paralelas segmentadas são desenhadas que começam nas extremidades de cada vetor. A figura que se forma é um paralelogramo e, em casos especiais em que os vetores são perpendiculares, resulta um retângulo ou um quadrado.

-Finalmente é desenhado um vetor que começa na origem comum de ou Y v ao extremo onde as linhas paralelas segmentadas se cruzam. Este é o vetor D ou subtração.

Importante

Outra maneira de fazer subtração é desenhar o paralelogramo como se quisesse adicionar os vetores.

Mas, em vez de desenhar a diagonal usual da soma, que vai da origem comum até a interseção dos paralelos, o diagonal oposta ou mais curta,como pode ser visto na figura:

Exemplos de subtração vetorial

- Exemplo 1

Um navio navega em um rio e o faz na direção oposta à corrente. Um observador em terra observa que a velocidade do navio é reduzida devido à ação da corrente.

A velocidade é um vetor e neste exemplo, a velocidade do barco está apontando em uma direção e a velocidade da corrente tem a mesma direção e direção oposta. A velocidade líquida do navio é a soma de ambos os vetores.

Por exemplo, se os instrumentos do navio indicam que ele está se movendo a v ’= + 40 km / he um observador na costa mede que o navio está se movendo a v = + 30 km / h. Já que v = v '+ Vc, onde Vc é a velocidade da corrente que é calculada subtraindo as velocidades v e v' respectivamente: Vc = v - v '= 30 km / h - 40 km / h = -10 km / h.

- Exemplo 2

Na cinemática, temos vetores importantes que descrevem mudanças:

- Deslocamento para mudanças de posição.

-Velocidade média, para quantificar a rapidez com que a posição varia ao longo do tempo.

-Aceleração, para variações de velocidade em função do tempo.

O vetor de deslocamento

O vetor de deslocamento descreve a mudança de posição que um corpo experimenta durante seu movimento.

Vejamos, por exemplo, uma partícula que descreve o caminho plano mostrado na figura, na qual passa do ponto P1 apontar P2.

Os vetores direcionados da origem do sistema de coordenadas x-y para esses pontos são os vetores de posição r1 Y r2, enquanto o vetor de deslocamento é Δr, que vai de P1 topo2. É verdade que:

Δr = r2 – r1

Portanto, o vetor de deslocamento é a subtração entre o vetor de posição final e o vetor de posição inicial, conforme mostrado na figura a seguir. Suas unidades também são as de posição: metros, pés, milhas, centímetros e muito mais.

Vetores velocidade média e aceleração média

Por sua vez, o vetor de velocidade média vm é definido como o deslocamento multiplicado pelo inverso do intervalo de tempo:

Exercício resolvido

Leva 5 s para uma partícula que descreve um círculo passar do ponto A ao ponto B. Em A ela tem uma velocidade vPARA = 60 km / h em direção ao eixo + x e em B é vB = 60 km / h em direção a + y. Determine sua aceleração média gráfica e analiticamente.

Solução

Na forma gráfica, a direção e a direção da aceleração média são determinadas por:

Na imagem a seguir está a subtração vB – vPARA, usando o método do triângulo, uma vez que a aceleração média param é proporcional a Δv. O triângulo formado tem as duas pernas iguais e, portanto, os ângulos internos agudos medem 45º cada.

Analiticamente, se a direção + x coincide com o vetor unitário Eu e a direção + y com o vetor unitário j, tão:

Δv = 60 km / h j - 60 km / h Eu

Tomando Δt = 5 s, de acordo com as informações do enunciado, a aceleração média é:

param = (60 km / h j - 60 km / h Eu) / 5 s = 12 (j–Eu) km / (h.s)

Referências

  1. Bauer, W. 2011. Physics for Engineering and Sciences. Volume 1. Mc Graw Hill.
  2. Bedford, 2000. A. Engineering Mechanics: Statics. Addison Wesley.
  3. Figueroa, D. (2005). Série: Física para Ciência e Engenharia. Volume 1. Cinemática. Editado por Douglas Figueroa (USB).
  4. Giambattista, A. 2010. Física. 2ª Ed. McGraw Hill.
  5. Sears, Zemansky. 2016. Física Universitária com Física Moderna. 14º. Ed. Volume 1.
  6. Tipler, P. 2006. Physics for Science and Technology. 5ª Ed. Volume 1. Editorial Reverté.